$10$の累乗の計算は指数関数の定義と指数の計算法則が基本となります。
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円錐の底面の半径と母線の長さの比は、円錐のどのようなところに現れるでしょうか？
2022年12月31日
2022年12月25日
2022年12月23日
2022年12月21日
.png)
2022年12月18日
2022年12月17日
二重、三重になっている根号はどうやって1つにする？
\begin{equation}\large \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\end{equation}
上のように根号で入れ子になっている数は1つの根号だけを使って表すことができます。
どのように考えれば1つの根号で表すことができるのでしょうか？
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2022年12月15日
分数式を部分分数分解する(2)
(1)$\large\dfrac{4x-9}{2x^2-x-15}$
(2)$\large-\dfrac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}$
(3)$\large\dfrac{x^3-4x^2-3x+2}{x^2+4x-5}$」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年12月12日
2022年12月10日
2022年12月9日
分数式を部分分数分解する
(1)$\large\dfrac{3}{(x+2)(x-5)}$
(2)$\large\dfrac{2x^2-3x+7}{(x+1)^3}$
(3)$\large\dfrac{x+4}{x(x-2)^2}$」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年12月6日
直角三角形の合同条件・相似条件
直角三角形の合同条件・相似条件は他の三角形とは少し変わっています。
これは直角三角形には
という特徴があるためです。
- 内角の1つが必ず$90°$である。
- 3辺の長さは必ず三平方の定理$a^2+b^2=c^2$を満たす。
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2022年12月4日
2022年12月2日
3つの外接する円の共通接線の交点と三角形の関係は？
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「半径がそれぞれ$1,2,3$の円$O_1,O_2,O_3$が互いに外接している。
円$O_1$と$O_2$の接点$Q$を通る共通接線、円$O_2$と$O_3$の接点$R$を通る共通接線、円$O_3$と$O_1$の接点$S$を通る共通接線は点$P$で交わる。
このとき以下の問いに答えよ。
円$O_1$と$O_2$の接点$Q$を通る共通接線、円$O_2$と$O_3$の接点$R$を通る共通接線、円$O_3$と$O_1$の接点$S$を通る共通接線は点$P$で交わる。
このとき以下の問いに答えよ。
(1)各円の中心を頂点とする$△O_1O_2O_3$において点$P$はなんという点であるか？三角形に関係する点の名称で答えよ。
(2)$PQ$の長さを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年11月29日
2022年11月26日
2022年11月24日
積和の公式・和積の公式
積和の公式、和積の公式は加法定理の
\begin{align}\sin(α+β)&=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\\[0.5em]
\sin(α-β)&=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ\\[0.5em]
\cos(α+β)&=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ\\[0.5em]
\cos(α-β)&=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\end{align}
を利用して導きます。
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2022年11月23日
余弦定理 なぜ成り立つ？
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\begin{align*}a^2&=b^2+c^2-bc\cos∠A\tag1\\[0.5em]b^2&=c^2+a^2-2ca\cos∠B\tag2\\[0.5em]c^2&=a^2+b^2-2ab\cos∠C\tag3\end{align*}
という関係があるという定理です。
なぜこのような式になるのでしょうか？
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2022年11月21日
正弦定理 なぜ成り立つ？
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\[\frac{a}{\sin∠A}=\frac{b}{\sin∠B}=\frac{c}{\sin∠C}=2R\]
という関係があるという定理です。
なぜこのような式になるのでしょうか？
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2022年11月20日
2022年11月17日
x^2の係数が1でない2次式を工夫して因数分解する
\[\large 6x^2+7x-3\]
上のように$x^2$の係数が$1$でない2次式を因数分解するのは、$x^2$の係数が$1$の2次式を因数分解するより少々面倒に感じます。
これを工夫して少し簡単に因数分解してみます。
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2022年11月15日
円に内接する三角形の1辺の長さは？
「円$O$に内接する$△ABC$がある。
この三角形の2辺が$AB=4,BC=8$で面積が$16$、円$O$の半径が$7$のとき$AC$を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年11月13日
2次不等式のように解く不等式
「次の不等式を実数の範囲で解け。
(1)$\large -2\sin^2\theta-5\sin\theta+3>0\quad(0\leqq\theta<2\pi)$
(2)$\large 2^{2x}-2^{x+1}-8\leqq0$
(3)$\large x+2\sqrt{x}-15>0$」
これらの不等式はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年11月12日
2022年11月9日
2022年11月6日
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2022年11月5日
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2022年11月3日
2022年11月1日
2022年10月29日
直線上の点を経由したときの2点の最短距離は？
点$A$から点$P$を経由し点$B$までを線で結んだときの線の長さ$AP+BP$が最小になるとき点$P$は直線$l$上のどの位置にあるでしょうか？
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2022年10月28日
高さが等しいルーローの多角形と円の周の長さ
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ルーローの多角形は、頂点の数が奇数個の正多角形の1辺の両端の頂点間を対角の頂点を中心とする円弧で結んだ図形です。
この図形は定幅図形といい、この図形を転がしても円と同様高さが変わりません。
ルーローの多角形の周の長さと同じ高さを持つ円の周の長さにはどのような関係があるでしょうか？
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2022年10月25日
2次不等式を解く(2)
「次の2次不等式を解け。
(1)$\large x^2-3x-18<0$
(2)$\large x^2+6x+8\geqq0$
(3)$\large -x^2+2x-3<0$
(4)$\large x^2-4x+5\leqq0$」
これらの2次不等式はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年10月22日
円に内接する四角形の面積を求める方法 ブラーマグプタの公式
円に内接する四角形の4辺の長さがわかっているとき、この四角形の面積$S$は
\begin{align*}S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\
ただし、&s=\frac{a+b+c+d}{2}\end{align*}
で求めることができます。この式をブーラマグプタの公式と呼びます。
なぜこの式で面積を求めることができるのでしょうか？
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2022年10月21日
対角線の長さとなす角から平行四辺形の面積を求める
「平行四辺形$ABCD$の対角線$AC$の長さが$4$、$BD$の長さが$6$、対角線同士のなす角が$60°$のとき、平行四辺形の面積を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年10月20日
2022年10月16日
ヘロンの公式 三角形の3辺から面積を求める公式
ヘロンの公式は三角形の3辺の長さがわかっているときに使える三角形の面積を求める公式です。
三角形の3辺の長さがそれぞれ＄a,b,c＄であるとき、三角形の面積$S$は
\begin{align*}S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\
ただし、&s=\frac{a+b+c}{2}\end{align*}
で求められます。
なぜ、この公式で面積を求められるのでしょうか？
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2022年10月14日
2022年10月12日
ルーローの三角形の周の長さと面積を求める
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「上の図形は正三角形の各頂点を中心とし、1辺の長さを半径とする円弧で他の2つの頂点間を結んだ図形で、ルーローの三角形と呼ばれる。
この図形を作図するときにもとになった正三角形の1辺の長さが$2$であったとき、この図形の周の長さと面積を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年10月8日
柱体の底面の面積比は？ 水の体積から求める
柱体$A$を入れたときの水深は$5[\text{cm}]$、柱体$B$を入れたときの水深は$8[\text{cm}]$、空の水槽に水を入れたときの水深が$2[\text{cm}]$であるとき、次の問いに答えよ。
ただし、柱体の底面と水槽の底の間には隙間がなく、全く水が入らないものとする。
(1)水槽と柱体$A$の底面の面積比を求めよ。
(2)柱体$A$と柱体$B$の底面の面積比を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年10月5日
2022年10月2日
2022年10月1日
2022年9月29日
2022年9月28日
ホテルの客室番号は？ 欠番のある客室番号の計算
「あるホテルでは客室番号に”$4$”、”$6$”、”$9$”を使用しない。このとき次の問いに答えよ。
(1)小さい順で45番目の客室番号は何番か？
(2)小さい順で300番目の客室番号は何番か？
(3)”$258$”号室の客室は小さい順で何番目か？」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年9月25日
三角形の面積から長方形の面積を求める
$△PAD$の面積が$80$、$△PBC$の面積が$20$のとき、長方形$ABCD$の面積を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年9月24日
1つの紙を余すことなく切り分けるには？
「縦$91$cm、横$104$cmの紙がある。この紙を余りを出さずに合同なできるだけ大きい以下の四角形に切り分けたい。切り分けた四角形の1辺、または最も長い辺の長さを答えよ。ただし、切れ端を組み合わせて四角形を作ることはできない。
(1)正方形
(2)短辺と長辺の長さの比が$1:2$の長方形
(3)短辺と長辺の長さの比が$2:3$の長方形」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年9月23日
楕円の焦点から引いた垂線の長さは？
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2022年9月20日
3つの積から3つの数を求める
「3つの異なる整数$A,B,C$がある。$A$と$B$を掛けると$-57$、$B$と$C$を掛けると$21$、$C$と$A$を掛けると$-133$となる。$A,B,C$を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年9月18日
2022年9月17日
2022年9月15日
楕円の長軸と短軸の各部分の長さは？
楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$の長軸と短軸はx軸とy軸です。
この長軸と短軸そのものの長さや、焦点で区切られた線分の長さはどうなっているのでしょうか？
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2022年9月13日
主軸がx軸でもy軸でもない楕円の方程式はどうなる？
では、主軸がx軸とy軸でない楕円とはどのような方程式で表されるのでしょうか？
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2022年9月11日
もう1つのベクトルに垂直なベクトル成分は？
「2つのベクトル$\vec{a},\vec{b}$について、次のようなベクトル成分をもつとき$\vec{a}$の$\vec{b}$に対して垂直なベクトル成分を求めよ。
(1)$\large \vec{a}=(-5,-7),\vec{b}=(-1,2)$
(2)$\large \vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,4)$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年9月10日
2022年9月9日
双曲線の接線の方程式
\[\frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1\]
となります。
なぜ、このような式で表されるのでしょうか？
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2022年9月7日
2022年9月5日
この点は領域に入る？入らない？
「次の不等式が表す領域内に[]内の点は存在するかどうかを調べよ。
(1)$\large y<3x+2\quad[(-1,3)]$
(2)$\large y>-x^2+3x+4\quad[(3,5)]$
(3)$\large \dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{4}\leqq2\quad[(1,-2)]$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年9月4日
不等式と領域 どの部分？
「次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1)$\large y\geqq -2x+3$
(2)$\large y<x^2+4x+1$
(3)$\large x^2+y^2<4$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年9月3日
解から2次方程式を求める
「次の解のみを持つ2次方程式を求めよ。
(1)$\large x=0,3$
(2)$\large x=\pm5$
(3)$\large x=2$
(4)$\large x=2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}$
(5)$\large x=1+\sqrt{3},3-\sqrt{3}$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年9月1日
1次不定方程式の整数解を求める(1)
(1)$\large 2x-y=3$
(2)$\large 3x+4y=2$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年8月28日
二重の絶対値を含む方程式
「次の方程式を解け。
(1)$\large\left||x-3|-2\right|=2$
(2)$\large\left||5-2x|+3\right|=-1$
(3)$\large\left||x^2-2x-3|-5\right|=0$
(4)$\large\left||x^2+3x-18|+x-3\right|=0$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年8月25日
2022年8月21日
ユークリッドの互除法 最大公約数を求める方法
ユークリッドの互除法とは、2つの整数の最大公約数を見つけるための方法で、以下の手順で見つけます。
整数$A$と$B$の最大公約数を見つけるには、
2.のように割る数を余りで割ることを繰り返し、余りが$0$になったときの割る数が$A$と$B$の最大公約数となります。
- $A$と$B$の大きい方を小さい方で割り、余り$r_1$を求めます。
- $A$か$B$の割る数になった方を$r_1$で割り、余り$r_2$を求めます。
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2022年8月20日
旅人算の問題 追いつくまでにかかる時間と距離は？
「Aさんは$400$mトラックを分速$50$mで歩きだした。Aさんが歩きだして$6$分後、Bさんは分速$70$mで$400$mトラックのAさんが歩き出した地点から同じ方向へ歩き出した。
(1)BさんがAさんに追いつくのはBさんが歩きだしてから何分後か？
(2)追いつくまでにAさんとBさんは歩きだした地点に何回戻ってくるか？」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年8月19日
2022年8月17日
通過算の問題 トンネルと列車の長さは？
「長さ$62$mの列車Aは秒速$24$mで走りトンネルを通過しきるのに$13$秒かかる。列車Bは同じトンネルを通過しきるのに$9$秒かかる。このとき列車Aと列車Bの速度の比は$3:4$であった。
トンネルと列車Bの長さはそれぞれ何mかを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年8月15日
摂氏温度と華氏温度の変換
摂氏温度は
【セ氏】（中略）一気圧における水の氷点を零度、沸点を一〇〇度として、その間を一〇〇等分したもの。
華氏温度は
【華氏】（中略）一気圧における水の凝固点を三二度、沸点を二一二度として、その間を一八〇等分したもの。
引用：旺文社 国語辞典 第十版
とあります。（氷点＝凝固点）
このことから、摂氏温度を華氏温度に変換、また華氏温度を摂氏温度に変換するにはどのような計算を行えばよいのでしょうか？
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2022年8月13日
2次方程式の2解が○○である条件(2)
「2次方程式$x^2+3kx-2k=0$の2解が$-2\leqq x<\dfrac{1}{2}$の範囲にあるときの$k$を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2次方程式の2解が○○である条件
「2次方程式$-x^2+2kx+k^2-1=0$が次の条件を満たす$k$を求めよ。
(1)2解ともに正
(2)2解ともに$-1$以下
(3)2解の符号が異なる」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年8月10日
2次方程式が2解を持つ条件
「2次方程式$x^2+kx+k+3=0$が次の条件を満たすときの$k$を求めよ。
(1)異なる2解を持つ
(2)2解を持つ
(3)2解ともに正」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年8月8日
2次方程式の解の公式と判別式
2次方程式$ax^2+bx+c=0$の解の公式は
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
となります。
なぜ、このような式になるのでしょうか？
また、判別式$D=b^2-4ac$とはどのような関係があるのでしょうか？
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2022年8月6日
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2022年8月5日
2022年8月2日
整数Nの整数倍の余り、2乗の余り
「整数$N$は$5$で割ると$2$余る。このとき次の数を$5$で割ったときの余りを求めよ。
(1)$3N$
(2)$N^2$
(3)$N^2+3N+1$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年7月31日
元金均等返済方式の返済額の計算式
元金均等返済方式とは、返済額のうち元金部分を常に一定額にして返済する方式のことです。利息部分は返済時の残高により変動します。
年々返済する場合、返済額のうち元金部分は借入元金を返済回数で分割するので
\begin{align*}P_P&=\frac{Pr}{n}\\ &(P_P:返済額の元金部分,P_r:借入元金,n:返済期間)\end{align*}
となります。
では、返済額はどのように計算されるのでしょうか？
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2022年7月29日
元利均等返済方式の返済額の計算式
元利均等返済方式とは、常に一定額を返済していく方式のことです。
返済額の計算方法は年々返済する場合
\begin{align*}P_b&=\frac{P_rA(1+A)^n}{(1+A)^n-1}\\ &(P_b:返済額,P_r:借入元金,A:年率,n:返済期間)\end{align*}
となります。
なぜ、このような式になるのでしょうか？
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共役複素数の性質
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共役複素数は実軸に関して対称な位置にある複素数のことです。なので、虚部の符号が逆転しています。
複素数$z=a+bi,w=c+di$
$(a,b,c,d:実数)$について、それぞれの共役複素数は$\bar{z}=a-bi,\bar{w}=c-di$となります。
極形式で$z,w$を表すと
\begin{align*}z&=r_1(\cos\theta+i\sin\theta)=r_1e^{i\theta}\\[0.5em]w&=r_2(\cos\phi+i\sin\phi)=r_2e^{i\phi}\\
&\left(\begin{aligned}ただし、r_1=\sqrt{a^2+b^2},&\
r_2=\sqrt{c^2+d^2}\\[0.5em]\cos\theta=\frac{a}{r_1},&\
\sin\theta=\frac{b}{r_1}\\[0.5em]\cos\phi=\frac{c}{r_2},&\
\sin\phi=\frac{d}{r_2}\end{aligned}\right)\end{align*}
となり、それぞれの共役複素数は偏角の符号が逆転した
\begin{align*}\bar{z}&=r_1\bigl\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\bigr\}=r_1e^{-i\theta}\\[0.5em]\bar{w}&=r_2\bigl\{\cos(-\phi)+i\sin(-\phi)\bigr\}=r_2e^{-i\phi}\end{align*}
となります。これらをもちいて共役複素数の性質とそれらが成り立つことを見ていきます。
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2022年7月27日
2022年7月26日
2022年7月24日
絶対値を含む2次不等式を解く
(1)$\large |x^2-5x+6|>3$
(2)$\large |2x^2-5x-3|\leqq x$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年7月23日
2022年7月22日
絶対値を含む1次不等式を解く(1)
「次の不等式を解け。
(1)$\large |x|<3$
(2)$\large |x|\geqq5$
(3)$\large |x+2|\leqq2$
(4)$\large |x-3|>1$
(5)$\large |x-5|>-2$
(6)$\large |x+1|\leqq-4$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年7月20日
2022年7月18日
三平方の定理 正方形以外の図形
三平方の定理
\[c^2=a^2+b^2\]
は、「直角三角形の斜辺の長さを1辺とする正方形の面積は他の2辺をそれぞれ1辺とする正方形の面積の和に等しい」と説明されますが、この式を変形すれば正方形以外の様々な図形に変えて考えることができます。
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2022年7月17日
2022年7月15日
2022年7月14日
2022年7月13日
対数の計算法則を利用した問題
「次の$\square$に当てはまる式を答えよ。
(1)$\large \log(MN)^p=\log{N^\square}+\log{M^pN^3}$
(2)$\large \log\frac{M}{N}=\log\frac{1}{M}-\log\square$
(3)$\large \log{M^p}=\frac{1}{p}\log{M^\square}$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年7月12日
なぜ複素数は|a+bi|^2=(a+bi)^2とすることができないのか？
実数$a,b$について
\[|a+b|^2=(a+b)^2\]
という式が成り立ちます。しかし、複素数$a+bi$の場合だと
\[|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)\]
となります。
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2022年7月9日
1次方程式をグラフで考える
例として1次方程式
\[-3x+7=x+5\]
について考えます。
\[-3x+7=x+5\]
について考えます。
これを解くと$x=\dfrac{1}{2}$となります。
1次方程式をグラフで考えたとき、この解にはどんな意味があるでしょうか？
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2022年7月8日
連立方程式を解く
連立方程式とは、
\[\left\{\begin{array}{rll}7x+y&=27&\cdots\text{(i)}\\[0.5em]5x+y&=21&\cdots\text{(ii)}\end{array}\right.\]
のように複数の方程式を関連付けて並べて書いたもので、複数の方程式を関連付けることを連立するといいます。これを解くとは連立した方程式に代入するとすべての方程式が成り立つような共通する値の組を求めることです。
すなわち連立した方程式$\text{(i),(ii)}$の$x,y$にはそれぞれ同じ値が入るものと考えています。
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2022年7月6日
2022年7月2日
2022年7月1日
2次関数の頂点が最大・最小となる条件
「2次関数$y=ax^2+2a^2x-5$ $(-2\leqq x\leqq3,\
a:実数)$において以下を満たすような$a$の値の範囲を求めよ。
(1)頂点で最大となる。
(2)頂点で最小となる。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年6月29日
最大値・最小値が「ない」ときとは？
最大値や最小値が「ない」ときとはどのようなときなのでしょうか？
以下の例題から考えてみます。
\[y=-2x+5\quad(x<2)\]
「上の関数の最大値と最小値を求めよ。」
「上の関数の最大値と最小値を求めよ。」
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2022年6月26日
2022年6月25日
合成関数の最大値・最小値を求める
「次の関数の[ ]内の定義域における最大値と最小値を求めよ。
(1)
$y=(x^2-2x-3)^2+3(x^2-2x-3)+3$
$[1\leqq x\leqq3]$
(2)
$y=(x^2+4x-3)^3-(x^2+4x-3)^2-(x^2+4x-3)+2$
$[0\leqq x\leqq1]$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年6月24日
2次関数のグラフの平行移動
2次関数
\[\large y=(x-p)^2+q\]
のグラフは$y=x^2$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$移動させたものとなぜ判断できるのでしょうか？
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2022年6月22日
2022年6月20日
2022年6月19日
三角関数の合成 sinやcosの係数をどうするか？
三角関数の合成とは同じ角度が入っている三角関数の和や差、すなわち$a\sinθ+b\cosθ$や$a\sinθ-b\cosθ$を1つの三角関数で表す方法のことです。
三角関数の合成の公式は以下のようになります。
公式1
\[\large a\sin\theta\pm
b\cos\theta=r\sin(\theta\pm\alpha)\tag{複号同順}\]
このとき、$r,θ$はそれぞれ
\begin{align*}\large
r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{r}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{r}\end{cases}\end{align*}
を満たす。
公式2
\[\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=\pm
r\cos(\theta\mp\alpha)\tag{複号同順}\]
このとき、$r,θ$はそれぞれ
\begin{align*}\large
r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{r}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{r}\end{cases}\end{align*}
を満たす。
これらは加法定理を利用して導くことができます。
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2022年6月18日
2022年6月17日
2次方程式の両辺をxで割って解いてはいけないのはナゼ？
\[\Large x^2-6x=0\]
という2次方程式を解くとき、両辺を$x$で割って
\begin{align*}x-6&=0\\[0.5em] x&=6\end{align*}
としてはならないのはなぜでしょうか？
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2022年6月14日
極限の不定形（∞-∞、0×∞）はなぜ極限値を出すことができないのか？
\[\Large\lim_{x\to\infty}(x-x^2)\]
この極限はどうなるでしょうか？
このまま極限を計算しようとすると$x\to\infty$のとき$x^2\to\infty$なので、
\[\lim_{x\to\infty}(x-x^2)=\infty-\infty\]
となります。これは一例ですが$\infty-\infty$は不定形と呼ばれるもので、この状態では極限値を求めることはできません。
なぜ$\infty-\infty=0$としてはいけないのでしょうか？
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2022年6月12日
2022年6月9日
2022年6月8日
ヴィヴィアーニの定理の拡張についての考察
Wikipediaのヴィヴィアーニの定理のページにて正多角形と等角多角形、凸な等辺多角形においても成り立つとの記述があったので、このヴィヴィアーニの定理の拡張を自分なりに考察してみました。
四角形については以前の記事で言及しているので五角形をもちいます。
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2022年6月5日
積の微分・商の微分
2つの関数$f(x),g(x)$同士を掛けたり割ったりしたものの微分、積の微分・商の微分は以下のようになります。
\begin{align*}\{f(x)g(x)\}'&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\[1.5em]\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[1.5em]\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'&=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{align*}
なぜこのようになるのでしょうか？
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対数関数を指数に持つ指数関数の微分
「次の関数を微分せよ。
(1)$\large e^{\log_e{x}}$ $\large(x>0)$
(2)$\large e^{x\log_e{2}}$
(3)$\large e^{\log_3{x}}$ $\large(x>0)$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年6月4日
2022年6月2日
2022年5月30日
2022年5月29日
2022年5月28日
2022年5月27日
1階線形微分方程式の解の公式
1階線形微分方程式$y'+P(x)y=Q(x)$の一般解は
\[y=e^{-\int P(x)dx}\left\{\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C\right\}\]
となりますが、なぜなのでしょうか？
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2022年5月24日
2円の交点を通る円・直線の方程式
2円$x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0$と$x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0$の交点を通る円・直線の方程式は
\begin{align*}(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)&=0\\
(k=-1:直線、k\neq-1:円)\end{align*}
となります。
なぜこの方程式で表すことができるのでしょうか？
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2022年5月22日
整数は何桁？0でない数が現れるのは小数第何位？
「次の問題を解け。$\log_{10}3=0.4771$とする。
(1)$3^{30}$は何桁の整数か？
(2)$0.3^{15}$に0でない数が現れるのは小数第何位か？」このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年5月21日
円の接線の方程式の公式
円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$の円周上の点$(p,q)$を通る接線の方程式は
\[(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2\]
となります。
なぜこれが円の接線の方程式となるのでしょうか？
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2022年5月19日
2022年5月17日
f(x)とg(x)を含む恒等式 f(x)とg(x)を求める
「2次関数$f(x)$と1次関数$g(x)$について
ただし、$f(x),g(x)$の係数・定数項はすべて整数である。」
\[\large f(x)g(x)=f(x)+2g(x)+x^3+5x^2+5x-4\]
が常に成り立つとき、$f(x),g(x)$を求めよ。ただし、$f(x),g(x)$の係数・定数項はすべて整数である。」
このような問題はどのように求めればよいでしょうか？
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2022年5月13日
2022年5月10日
方程式の解が複数あるときのカンマの意味は「または」？「かつ」？どっち？
例えば$x^2+x-2=0$の解を$x=-2,1$のように書きますが、$-2$と$1$の間にある「,（カンマ）」には「または」と「かつ」のどちらの意味があるでしょうか？
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2022年5月8日
2022年5月7日
2022年5月5日
2022年5月4日
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2022年5月3日
2022年4月30日
2022年4月29日
2022年4月28日
csc(x)、sec(x)、cot(x)の微分
$\csc x,\sec x,\cot x$はそれぞれ$\sin x,\cos x,\tan
x$の逆数なので、商の微分
\begin{align*}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[1em]\left\{\frac{1}{f(x)}\right\}'&=-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\end{align*}
を利用して求めます。
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2022年4月27日
2022年4月26日
2022年4月25日
2022年4月24日
2022年4月23日
2022年4月21日
2022年4月20日
2022年4月19日
2次方程式のように解く方程式
2次方程式ではないですが2次方程式の解き方で解を求めることができる方程式の例を4つ挙げてみました。
「次の方程式を実数の範囲で解け。
(1)$\large\cos^2θ-\cosθ-\dfrac{3}{4}=0\ (0\leqqθ<2\pi)$
(2)$\large(\log_2x)^2-\log_2x^2-3=0$
(3)$\large5^{2x}-5^{x+1}-50=0$
(4)$\large x+2\sqrt{x}-8=0$」
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2022年4月18日
2022年4月17日
2022年4月14日
2022年4月13日
なぜ位置を表す時間の関数x(t)を微分すると速度がわかるのか？
位置を表す時間の関数$x(t)$はある時点での移動距離を表した関数のことです。
例えば$x(t)=2t$の場合は$t=1[s]$後にはスタート位置から$x(1)=2×1=2[m]$移動している、のようになります。
これを$t$で微分すれば$x'(t)=2[m/s]$となり速度がわかるのですが、なぜ速度が求まるのでしょうか？
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2022年4月12日
文字を含む分数の逆数を求めるには
分数の逆数は分子と分母を入れ替えるだけ、という簡単な方法で求めることができます。
しかし、$\dfrac{4}{3}x$のように分数と分子にも分母にも含まれない文字と組み合わさっている数の逆数はどのように求めるのでしょうか？
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2022年4月10日
2022年4月9日
多項式の関数の微分はなぜ項ごとの微分で求まるのか？
例えば$f(x)=x^3+3x^2-2x+8$をxで微分すると$f'(x)=3x^2+6x-2$となります。
これは
これは
\begin{align*}x^3\ &→\ 3x^2\\[0.5em]3x^2\ &→\ 6x\\[0.5em]-2x\
&→\ -2\\[0.5em]8\ &→\ 0\end{align*}
と項ごとに$x$で微分したものを足し合わせていることがわかります。
なぜこれが成り立つのでしょうか？
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2022年4月8日
2022年4月7日
2022年4月6日
6つの三角関数を単位円上に表すと？
三角関数の$\sinθ,\cosθ,\tanθ$は単位円上で表すと以下のようになります。
半径1の単位円の円周とx軸と角度$θ$で交わる原点を通る直線$l$との交点のx座標が$\cosθ$、y座標が$\sinθ$、直線$l$と直線$x=1$との交点のy座標が$\tanθ$となります。
では、あと3つの三角関数$\cscθ,\secθ,\cotθ$は単位円上ではどこに現れるのでしょうか？
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2022年4月5日
cscθ、secθ、cotθの相互関係
$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係は
\begin{align*}\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{a}\\[1em]\sin^2\theta+\cos^2\theta&=1\tag{b}\\[1em]1+\tan^2\theta&=\frac{1}{\cos^2\theta}\tag{c}\end{align*}
であるので、これらを使い$\cscθ,\secθ,\cotθ$の相互関係を調べてみます。
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2022年4月4日
部分分数分解する方法
\begin{equation}\frac{1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}\end{equation}
「上の式が成り立つような$A,B$の値を求めよ。」
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2022年4月3日
2022年3月31日
座標空間におけるベクトルの内積
2つのベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$の内積は
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]
となります。
座標平面上の2ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)$の内積
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\]
と比較するとz座標同士の積の項を付け加えるだけですが、なぜこのような式になるのでしょうか？
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2022年3月30日
三平方の定理（ピタゴラスの定理）
三平方の定理は幾何学の有名な定理で直角三角形の3辺の長さの関係を表しています。
\[\large a^2+b^2=c^2\]
という式で表されます。
これを証明する方法は様々ありますが、一番簡単な方法は合同な直角三角形を4つ使って正方形を作る方法だと思います。
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2022年3月29日
三角比で平行四辺形の面積を求める
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\[ab\sinθ\]
で求めることができます。
なぜこの式で面積を求めることができるのでしょうか？
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2022年3月27日
ピースを組み替えると面積が変わる？直角三角形
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|
| 図1 直角三角形1 |
上図のような4つのピースで作った直角三角形があります。
これを上下の直角三角形のピースを入れ替えるように組み替えると……
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|
| 図2 直角三角形2 |
面積は変わらないはずなのに正方形1つ分の空白ができてしまいます。
なぜこのようなことが起きるのでしょうか？
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2022年3月26日
平行四辺形の中の三角形の内角の大きさは？
「$AB:AD=2:1$である平行四辺形$ABCD$がある。辺$CD$の中点$M$から頂点$A,B$に線を引いたとき$∠AMB$の大きさを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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帯分数で指数を含む計算をする
「次の計算をせよ。
\[2^2\frac{2}{3}+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{3^2}{4}\]
ただし、乗算記号の省略はない」
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2022年3月24日
2022年3月20日
長さの測れないコンパスで長さの等しい線分を作図するには
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このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年3月19日
2022年3月18日
濃度の計算 正しく計算するには
「次の食塩水の濃度を求めよ。
(1)濃度5%の食塩水120gに食塩を14g加えると濃度は何％となるか？
(2)濃度10％の食塩水80gに水を40g加えると濃度は何％となるか？
(3)濃度4%の食塩水70gに濃度8％の食塩水50gを加えると濃度は何％となるか？」このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年3月16日
割り算を割り算以外の計算式で表すと？
割り算は最初
\[7÷3=2\ あまり1\]
や
\[9÷6=1\cdots3\]
のような書き方で習いますが、「あまり」や「…」は厳密には数式にもちいられる記号ではないので1つの式で表されているのとは少し違います。
では、割り算を1つの式で表すとどうなるのか？また、割り算を表す式
\[a=bn+r\]
との関連を考えてみます。
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ベクトルの内積の求め方
$\vec{a},\vec{b}$が上図のような位置関係であるとき内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$を求めよ。」
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2022年3月15日
3次方程式の解と係数の関係
(1)$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
(2)$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$」
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2022年3月14日
2022年3月12日
2022年3月11日
不等式と必要条件、十分条件
「次の条件が成り立つような$a,b$の範囲を求めよ。
(1)$2x+a>0$であることが$x^2-10x+21\leqq0$であるための必要条件
(2)$x^2-10x+21>0$であることが$|x-b|-2>0$であるための十分条件」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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