ホテルの客室番号は？ 欠番のある客室番号の計算

「あるホテルでは客室番号に”$4$”、”$6$”、”$9$”を使用しない。このとき次の問いに答えよ。

(1)小さい順で45番目の客室番号は何番か？

(2)小さい順で300番目の客室番号は何番か？

(3)”$258$”号室の客室は小さい順で何番目か？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　この問題を解くには繰り上がりに着目します。

(1)

　通常、”$0$”から”$9$”までの10個の数字が使用されていれば10室ごとに十の位へ繰り上がります。
しかし、”$4$”、”$6$”、”$9$”を使用しない、すなわち7個の数字しか使用しない場合は7室ごとに十の位へ繰り上がることになります。

そこで45番目の客室までに何回十の位へ繰り上がるのかを調べると
\[45\div7=6\ 余り3\]
となるので、6回繰り上がり一の位が$3$増えることがわかります。

このことから十の位は”$6$”となりますが、ここで使用しない数字を考えると”$4$”と”$6$”が使用されていないので十の位が”$6$”より2つ分ずれるため、$20$を足します。

　したがって、十の位への繰り上がり回数$6$と十の位の欠番による調整の$20$と余りの$3$より

\[10\times6+20+3=83\]

45番目の客室番号は”$83$”であることがわかります。

　何回1つ上の桁に繰り上がるかを求める方法はn進数への変換方法の考え方です。
この問題の場合は7個の数字しか使用しないため、7進数の問題と見ることができます。
ただし、通常の7進数は”$7$”、”$8$”、”$9$”を使用しないのですが、この問題では使用しない数字が$4$”、”$6$”、”$9$”になっているので、少し変わった7進数となります。

そのため欠番による調整ということで$20$を加えるという工程が発生しましたが、

上図のように使用する数字が置き換わっていると考えれば数字の対応表を作ることができ、より簡単に7進数を客室番号に変換することができます。

(2)

　(1)と同様に解き、7進数ではどうなるのかを求めます。
\[300\div7=42\ 余り6\]
より、十の位へは42回繰り上がることがわかります。また、余りより一の位は$6$です。

百の位への繰り上がりは十の位への繰り上がり42回のうち
\[42\div7=6\]
6回行われます。このとき、余りは$0$なので十の位は$0$となります。

　以上より、7進数では
\[100\times6+10\times0+6=606\]
となり、上の対応表にしたがって変換すると客室番号は”$808$”であることがわかります。

対応表を使用しない場合は、”$4$”と”$6$”が使用されていないことから百の位と一の位がそれぞれ”$6$”から2つ分ずれるため$202$を加えて客室番号が”$808$”となることがわかります。

(3)

　(1)、(2)とは逆の手順で求めます。
対応表より元となる7進数は$246$であることがわかります。

百の位は$2$なので、2回十の位から繰り上がっているので
\[7\times2=14\]
一の位からの繰り上がりは上の$14$と十の位の$4$の和$18$回なので、
\[7\times18=126\]
これに一の位の$6$を加えた$132$が客室番号を10進数に変換したものなので、”$258$”号室は小さい順で$132$番目であることがわかります。

　一度の計算で変換するには十の位の数は7倍、百の位は7倍の7倍、つまり49倍、…というように一の位から離れている分だけ各桁に$7$を掛けます。

\begin{align*}2\times7^2+4\times7+6&=2\times49+4\times7+6\\ \\ &=98+28+6\\ \\ &=132\\end{align*}