2次方程式が2解を持つときに重解が含まれるのはなぜ？

　2次方程式の解の存在範囲の問題では2解を持つときという条件には重解も含まれます。

なぜ重解も2解を持つことになるのでしょうか？その理由を考察してみます。

　例として2次方程式$x^2+2x+1=0$について考えます。
この方程式は判別式より

$$D=2^2-4\cdot1\cdot1=0$$
となるため重解を持ちます。
この方程式を因数分解を利用して解きます。
$$\begin{align*}x^2+2x+1&=0\\ \\ (x+1)^2&=0\end{align*}$$
ここから、段階を踏んで解いていきます。
$$(x+1)^2=(x+1)(x+1)=0$$
となることを考えると、これが成り立つ条件は「$x+1=0$または$x+1=0$」であるとわかります。これを解けば「$x=-1$または$x=-1$」、すなわち$x=-1$です。

　この流れをよく見ると2次方程式から導き出せる結論は「$x=-1$または$x=-1$」までです。
ここから「すなわち$x=-1$」と結論づけるのは2次方程式とは直接関係していません。

「すなわち」以降の部分は「または」の性質を反映したものなので論理の分野です。つまり、「$A$または$B$、かつ$A=B$」ならば「$A$である」ことから導かれたということです。

このことから、2次方程式にのみ限定して考えれば重解は2解を持つ場合に含まれるということです。

　しかし、$(x+1)^2=0$を平方根を利用して解けば$x+1=0$、すなわち$x=-1$となるから解の個数は1個ではないか？と思うかもしれませんが、この場合でも細かく見れば平方根をとったとき

$$x+1=\pm\sqrt{0}=\pm0$$

となり、$+0=-0$であることから$x=-1$が導かれます。

2次方程式から直接導かれるのは$x=-1-0,-1+0$までです。$x=-1$と結論付けられるのは$0$の性質によるものです。

$\pm\sqrt{0},\pm0$という書き方はあまり見かけないかもしれませんが、重解を持つ2次方程式を解の公式を使って解くと

$$x=-1\pm\sqrt{0}$$
というような式に遭遇します。こういった式が登場することが重解のときの解の個数が2個であることを暗に示唆しています。

　以上から、2次方程式のみからわかることは重解であっても解の個数は2個ということまでで、そこからさらに突き詰めて初めて重解のときの解の個数は1個であると判断されます。

そして、突き詰めた結果わかることは重解は2つの解が等しい特殊な例であるということです。

これが重解が2解を持つものに含まれる理由であると考えられます。