a+bとab/(a+b)はどちらが大きい？（2つの数の大小比較）

「$a>0,b>0$のとき$a+b$と$\dfrac{ab}{a+b}$はどちらが大きいか？
不等式で答えよ。」

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アルキメデスの双子円の半径を求める

　アルベロス図形とは、上図のように直線に関して同じ側に円弧がある3つの半円の弧に囲まれた図形のことです。

そして、上図のようにアルベロス図形$ABC$を小さい2つの半円の交点$D$を通る直径$AB$に垂直な直線$CD$で分割してできる図形$ACD,BCD$それぞれの内接円のことをアルキメデスの双子円といいます。双子円という名の通り半径が等しく、半円$AC$の半径を$a$、半円$BC$の半径を$b$とすると

\[\frac{ab}{a+b}\]

と表されます。

これが成り立つことを座標平面をもちいて確かめてみます。

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床関数と天井関数

床関数

　$\lfloor x\rfloor$や$[x]$と書き表される関数を床関数といいます。$[x]$の$[\ ]$は単なる括弧ではなく、床関数を表すものとしてガウス記号と呼ばれます。

床関数$\lfloor x\rfloor$の値は整数$n$をもちいて以下のように決まります。

実数$x$が$n\leqq x<n+1$の範囲にあるとき
\[\lfloor x\rfloor=n\]
すなわち、実数$x$以下の最大の整数が床関数$\lfloor x\rfloor$のとる値となります。

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[x]（[ ]：ガウス記号）の定積分

\[\int^3_2[x]\ dx\quad([\ ]:ガウス記号)\]
この定積分はどのような値となるでしょうか？

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負の数のべき乗が実数となる条件は？

　正の数のべき乗$a^x$はすべての実数$x$で実数となります。しかし負の数のべき乗$(-a)^x\ (a>0)$はすべての実数$x$で実数となるわけではありません。

負の数のべき乗が実数となる条件は何でしょうか？

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アルベロス図形とは

　半円$AB$の直径$AB$上に点$C$をおき、$AB$に関して弧$AB$と同じ側に円弧があるように半円$AC$と半円$BC$を描きます。このとき3つの円弧によって囲まれた図形のことをアルベロス図形といいます。

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x^xの微分

　$x^x$は底と指数ともに変数であるため、べき関数$x^a\ (a:定数)$でも指数関数$a^x\ (a:定数)$でもなく、これらの合成関数でもありません。

これを微分するためには以下のような方法で行います。

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