x^xの微分 ~ 数学について考えてみる

2023年5月2日

x^xの微分

PLUMBAGO

x^{x}

$x^x$ は底と指数ともに変数であるため、べき関数

x^{a} (a : 定 数)

$x^a\ (a:定数)$ でも指数関数

a^{x} (a : 定 数)

$a^x\ (a:定数)$ でもなく、これらの合成関数でもありません。

これを微分するためには以下のような方法で行います。

ただし、定義域を

x > 0

$x>0$ として考えます。

合成関数の形に変形する方法

　対数をもちいて

x = e^{{log}_{e} x}

$x=e^{\log_e{x}}$ （以下

{log}_{e} x = ln x

$\log_e{x}=\ln{x}$ とする）と表せるので、底のほうの

x

$x$ を変形して

\begin{matrix} x^{x} & = {(e^{ln x})}^{x} = e^{x ln x} \end{matrix}

$\begin{align*}x^x&=\left(e^{\ln{x}}\right)^x\\[0.5em]&=e^{x\ln{x}}\end{align*}$

とします。これは指数関数

f (x) = e^{x}

$f(x)=e^x$ と関数の積

g (x) = x ln x

$g(x)=x\ln{x}$ の合成関数

f (g (x))

$f\left(g(x)\right)$ なので、合成関数の微分と積の微分を利用することができます。

両辺を

x

$x$ で微分すると

\begin{matrix} {(x^{x})}^{'} & = {(e^{x ln x})}^{'} = e^{x ln x} {(x ln x)}^{'} = e^{x ln x} {(x)^{'} ln x + x {(ln x)}^{'}} = e^{x ln x} (ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = e^{x ln x} (ln x + 1) = x^{x} (ln x + 1) \end{matrix}

$\begin{align*}\left(x^x\right)'&=\left(e^{x\ln{x}}\right)'\\[0.5em]&=e^{x\ln{x}}\left(x\ln{x}\right)'\\[0.5em]&=e^{x\ln{x}}\left\{(x)'\ln{x}+x\left(\ln{x}\right)'\right\}\\[0.5em]&=e^{x\ln{x}}\left(\ln{x}+x\cdot\frac{1}{x}\right)\\[0.5em]&=e^{x\ln{x}}\left(\ln{x}+1\right)\\[0.5em]&=x^x\left(\ln{x}+1\right)\end{align*}$

となります。

　合成関数の微分の公式は

{f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

$\left\{f\left(g(x)\right)\right\}'=f'\left(g(x)\right)g'(x)$

積の微分の公式は

{f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

$\left\{f(x)g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

です。これらは次でももちいます。

対数微分法をもちいる方法

f (x) = x^{x}

$f(x)=x^x$ とおき、両辺の対数をとると

\begin{matrix} ln f (x) & = ln x^{x} = x ln x \end{matrix}

$\begin{align*}\ln{f(x)}&=\ln{x^x}\\[0.5em]&=x\ln{x}\end{align*}$

となります。（

$x>0$ より

$f(x)>0$ なので

$f(x)$ のままで真数条件を満たします。）

両辺を

$x$ で微分すると、左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分をもちいて

$\begin{align*}\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)&=(x)'\ln{x}+x\left(\ln{x}\right)'\\[0.5em]\frac{f'(x)}{f(x)}&=\ln{x}+x\cdot\frac{1}{x}\\[0.5em]&=\ln{x}+1\\[1.5em]f'(x)&=f(x)\left(\ln{x}+1\right)\\[0.5em]&=x^x\left(\ln{x}+1\right)\end{align*}$

となります。