2数の相加平均と相乗平均の大小関係は
\begin{align*}\frac{a+b}{2}&\geqq\sqrt{ab}\\
&(a\geqq0,b\geqq0)\end{align*}
等号成立はa=b
3数の相加平均と相乗平均の大小関係は
となります。
\begin{align*}\frac{a+b+c}{3}&\geqq\sqrt[3]{abc}\\
&(a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0)\end{align*}
等号成立はa=b=c
これらはなぜ成り立つのでしょうか?
2数の相加平均と相乗平均の大小関係
両辺を2倍して移項した
\begin{equation}\begin{aligned}a+b-2\sqrt{ab}&\geqq0\\
&(a\geqq0,b\geqq0)\end{aligned}\end{equation}
が成り立つことを確かめます。
左辺に着目し、\sqrt{a}=s,\sqrt{b}=tとおくと
\begin{align*}(左辺)&=\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2+\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}\\[0.5em]&=s^2+t^2-2st\\[0.5em]&=(s-t)^2\end{align*}
となります。
a\geqq0,b\geqq0よりs,tは実数、s-tも実数となります。実数の2乗は0以上の値となるので(s-t)^2\geqq0、すなわち
\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2=a+b-2\sqrt{ab}\geqq0
となって(1)が成り立ちます。
等号が成立する、すなわち\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=0となる条件は\sqrt{a}=\sqrt{b}、すなわちa=bのときとなります。
3数の相加平均と相乗平均の大小関係
両辺を3倍して移項した
\begin{equation}\begin{aligned}a+b+c-3\sqrt[3]{abc}&\geqq0\\
&(a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0)\end{aligned}\end{equation}
が成り立つことを確かめます。
左辺に着目し、\sqrt[3]{a}=s,\sqrt[3]{b}=t,\sqrt[3]{c}=uとおくと
\begin{align*}(左辺)&=\bigl(\sqrt[3]{a}\bigr)+\bigl(\sqrt[3]{b}\bigr)+\bigl(\sqrt[3]{c}\bigr)-3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{c}\\[0.5em]&=s^3+t^3+u^3-3stu\\[0.5em]&=(s+t+u)(s^2+t^2+u^2-st-tu-us)\end{align*}
となります。
それぞれの因数に着目します。
a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0よりs\geqq0,t\geqq0,u\geqq0なのでs+t+u\geqq0\ \cdots\text{(i)}です。
また、
a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0よりs\geqq0,t\geqq0,u\geqq0なのでs+t+u\geqq0\ \cdots\text{(i)}です。
また、
\begin{align*}&s^2+t^2+u^2-st-tu-us\\[0.5em]=&\frac{1}{2}(2s^2+2t^2+2u^2-2st-2tu-2us)\\[0.5em]=&\frac{1}{2}\left\{(s^2-2st+t^2)+(t^2-2tu+u^2)+(u^2-2us+s^2)\right\}\\[0.5em]=&\frac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}\end{align*}
となり、(s-t)^2\geqq0,(t-u)^2\geqq0,(u-s)^2\geqq0なので、\dfrac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}\geqq0\
\cdots\text{(ii)}です。
\text{(i),(ii)}より
\begin{align*}&(s+t+u)(s^2+t^2+u^2-st-tu-us)\\[0.5em]=&a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\geqq0\end{align*}
となって(2)が成り立ちます。
等号が成立しa+b+c-3\sqrt[3]{abc}=0となるのは\text{(i),(ii)}それぞれの等号が成立するときとなります。
(i)s+t+u=0
s\geqq0,t\geqq0,u\geqq0より等式を満たす条件はs=t=u=0、すなわちa=b=c=0\ \cdots\text{(iii)}となります。
(ii)\tfrac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}=0
\begin{align*}\frac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}&=0\\[0.5em](s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2&=0\end{align*}
(s-t)^2\geqq0,(t-u)^2\geqq0,(u-s)^2\geqq0より等式を満たす条件は
\begin{align*}&(s-t)^2=0\ \text{かつ}\ (t-u)^2=0\
\text{かつ}\ (u-s)^2=0\\[0.5em]\Leftrightarrow&s=t\
\text{かつ}\ t=u\
\text{かつ}\ u=s\\[0.5em]\Leftrightarrow&s=t=u\end{align*}
すなわちa=b=c\ \cdots\text{(iv)}です。
\text{(iii),(iv)}より(2)の等号成立条件はa=b=cとなります。
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