2数、3数の場合の相加平均と相乗平均の大小関係

　2数の相加平均と相乗平均の大小関係は

\begin{align*}\frac{a+b}{2}&\geqq\sqrt{ab}\\ &(a\geqq0,b\geqq0)\end{align*}

等号成立は$a=b$

3数の相加平均と相乗平均の大小関係は

\begin{align*}\frac{a+b+c}{3}&\geqq\sqrt[3]{abc}\\ &(a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0)\end{align*}

等号成立は$a=b=c$

となります。

これらはなぜ成り立つのでしょうか？

2数の相加平均と相乗平均の大小関係

　両辺を2倍して移項した

\begin{equation}\begin{aligned}a+b-2\sqrt{ab}&\geqq0\\ &(a\geqq0,b\geqq0)\end{aligned}\end{equation}

が成り立つことを確かめます。

左辺に着目し、$\sqrt{a}=s,\sqrt{b}=t$とおくと

\begin{align*}(左辺)&=\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2+\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}\\[0.5em]&=s^2+t^2-2st\\[0.5em]&=(s-t)^2\end{align*}

となります。

$a\geqq0,b\geqq0$より$s,t$は実数、$s-t$も実数となります。実数の2乗は$0$以上の値となるので$(s-t)^2\geqq0$、すなわち

\[\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2=a+b-2\sqrt{ab}\geqq0\]

となって$(1)$が成り立ちます。

　等号が成立する、すなわち$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=0$となる条件は$\sqrt{a}=\sqrt{b}$、すなわち$a=b$のときとなります。

関連：Geometric mean theorem（幾何平均定理）

3数の相加平均と相乗平均の大小関係

　両辺を3倍して移項した

\begin{equation}\begin{aligned}a+b+c-3\sqrt[3]{abc}&\geqq0\\ &(a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0)\end{aligned}\end{equation}

が成り立つことを確かめます。

左辺に着目し、$\sqrt[3]{a}=s,\sqrt[3]{b}=t,\sqrt[3]{c}=u$とおくと

\begin{align*}(左辺)&=\bigl(\sqrt[3]{a}\bigr)+\bigl(\sqrt[3]{b}\bigr)+\bigl(\sqrt[3]{c}\bigr)-3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{c}\\[0.5em]&=s^3+t^3+u^3-3stu\\[0.5em]&=(s+t+u)(s^2+t^2+u^2-st-tu-us)\end{align*}

となります。

関連：$a^3+b^3+c^3-3abc$の因数分解の導出

それぞれの因数に着目します。
$a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0$より$s\geqq0,t\geqq0,u\geqq0$なので$s+t+u\geqq0\ \cdots\text{(i)}$です。
また、

\begin{align*}&s^2+t^2+u^2-st-tu-us\\[0.5em]=&\frac{1}{2}(2s^2+2t^2+2u^2-2st-2tu-2us)\\[0.5em]=&\frac{1}{2}\left\{(s^2-2st+t^2)+(t^2-2tu+u^2)+(u^2-2us+s^2)\right\}\\[0.5em]=&\frac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}\end{align*}

となり、$(s-t)^2\geqq0,(t-u)^2\geqq0,(u-s)^2\geqq0$なので、$\dfrac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}\geqq0\ \cdots\text{(ii)}$です。

$\text{(i),(ii)}$より

\begin{align*}&(s+t+u)(s^2+t^2+u^2-st-tu-us)\\[0.5em]=&a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\geqq0\end{align*}

となって$(2)$が成り立ちます。

　等号が成立し$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}=0$となるのは$\text{(i),(ii)}$それぞれの等号が成立するときとなります。

(i)$s+t+u=0$

　$s\geqq0,t\geqq0,u\geqq0$より等式を満たす条件は$s=t=u=0$、すなわち$a=b=c=0\ \cdots\text{(iii)}$となります。

(ii)$\tfrac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}=0$

\begin{align*}\frac{1}{2}\left\{(s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2\right\}&=0\\[0.5em](s-t)^2+(t-u)^2+(u-s)^2&=0\end{align*}

$(s-t)^2\geqq0,(t-u)^2\geqq0,(u-s)^2\geqq0$より等式を満たす条件は

\begin{align*}&(s-t)^2=0\ \text{かつ}\ (t-u)^2=0\ \text{かつ}\ (u-s)^2=0\\[0.5em]\Leftrightarrow&s=t\ \text{かつ}\ t=u\ \text{かつ}\ u=s\\[0.5em]\Leftrightarrow&s=t=u\end{align*}

すなわち$a=b=c\ \cdots\text{(iv)}$です。

$\text{(iii),(iv)}$より$(2)$の等号成立条件は$a=b=c$となります。