投げ上げたボールの最高点を求める

「Aさんがボールを投げ上げたところ$2[\text{m}]$先にある高さ$3[\text{m}]$の塀の上にある瓶に当たった。
ボールがAさんから瓶までの地点間を$5:3$に内分する位置で最高点に到達したとき、最高点におけるボールの高さを求めよ。

ボールがAさんの手を離れた直後のボールの位置はAさんの頭上で高さは$2[\text{m}]$とし、瓶に当たるとはAさんから$2[\text{m}]$先、高さ$3[\text{m}]$の位置をボールの中心が通過する軌道を描いたものとする。
また、空気抵抗は無視する。」

　投げ上げた物体が描く軌道は放物線となります。したがって、2次関数をもちいてボールの軌道を表すことができます。

解法その1

x軸を地面とし、Aさんの立っている地点を原点とします。
座標軸の単位の長さを$1[\text{m}]$とすると、投げ上げた瞬間のボールの位置は座標で$(0, 2)$、瓶のある位置は$(2, 3)$となります。投げ上げたボールの描く放物線はこの2点を通ります。

また、投げ上げたボールの最高点は放物線の頂点であり、そのx座標は放物線の軸上にあります。Aさんから瓶までの地点間の距離は$2[\text{m}]$で最高点のある地点はこれを$5:3$に内分するのでx座標は
$$2\cdot\frac{5}{5+3}=\frac{5}{4}$$
となり、放物線の軸は$x=\dfrac{5}{4}$であるとわかります。
すると、放物線の方程式となる2次関数は$y=a\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+q$とおくことができます。

これに$(0, 2)$を代入すると

$$\begin{align*}2&=a\left(0-\frac{5}{4}\right)^2+q\\[0.5em]&=\frac{25}{16}a+q\\[0.5em]\frac{25}{16}a+q&=2 \tag{i.1}\end{align*}$$

$(2, 3)$を代入すると

$$\begin{align*}3&=a\left(2-\frac{5}{4}\right)^2+q\\[0.5em]&=a\left(\frac{3}{4}\right)^2+q\\[0.5em]&=\frac{9}{16}a+q\\[0.5em]\frac{9}{16}a+q&=3\tag{i.2}\end{align*}$$

$\text{(i.1)}$と$\text{(i.2)}$を連立し、$\text{(i.1)}-\text{(i.2)}$すると$a=-1$。
これを$\text{(i.1)}$に代入すると

$$\begin{align*}-\frac{25}{16}+q&=2\\[0.5em]q&=\frac{57}{16}\end{align*}$$

となります。

よって、求める2次関数は$y=-\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{57}{16}$で最大値は$\dfrac{57}{16}$なので、最高点におけるボールの高さは$\dfrac{57}{16}=3.5625[\text{m}]$となります。

関連：2次関数の最大値・最小値を求める

解法その2

　ボールの軌道を座標平面に落とし込んで考える部分までは解法その1と同じです。
放物線はその軸に関して線対称なので、投げ上げた地点から最高点までの距離と等距離の地点でボールの高さは投げ上げた直後の高さと等しくなります。

この地点は上図のように考えれば、Aさんから瓶までの地点間を$5:1$に外分することがわかります。
したがって、ボールの高さが投げ上げた直後の高さと等しくなる地点のx座標は

$$2\cdot\frac{5}{5-1}=\frac{5}{2}$$

となります。そして、このときのボールの座標は$\left(\dfrac{5}{2}, 2\right)$となります。

放物線の方程式を$y=ax^2+bx+c\ (a, b, c:実数)$とおきます。
$(0, 2), (2, 3), \left(\dfrac{5}{2}, 2\right)$を通るので、それぞれ代入すると

$$\begin{align*}(0, 2)\\ 2&=c\\[0.5em]c&=2 \tag{ii.1}\\[1.5em](2, 3)\\ 3&=a\cdot2^2+b\cdot2+c\\[0.5em]&=4a+2b+c\\[0.5em]4a+2b+c&=3 \tag{ii.2}\\[3em]\left(\frac{5}{2}, 2\right)\\ 2&=a\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^2+b\cdot\frac{5}{2}+c\\[0.5em]&=\frac{25}{4}a+\frac{5}{2}b+c\\[0.5em]\therefore25a+10b+4c&=8 \tag{ii.3}\end{align*}$$

となるので、$\text{(ii.1), (ii.2), (ii.3)}$を連立して$a, b, c$を求めます。

$\text{(ii.1)}$を$\text{(ii.2), (ii.3)}$それぞれに代入して整理すると

$$\begin{cases}4a&+2b&=1\qquad\cdots(2.4)\\[0.5em]25a&+10b&=0\qquad\cdots(2.5)\end{cases}$$

$\text{(ii.4)}×5-\text{(ii.5)}$より

$$\begin{align*}-5a&=5\\[0.5em]a&=-1\end{align*}$$

これを$\text{(ii.4)}$に代入すると

$$\begin{align*}4\cdot(-1)+2b&=1\\[0.5em]2b&=5\\[0.5em]b&=\frac{5}{2}\end{align*}$$

したがって、求める放物線の方程式は$y=-x^2+\dfrac{5}{2}x+2$であるとわかるので、これを平方完成します。

$$\begin{align*}y&=-x^2+\frac{5}{2}x+2\\[0.5em]&=-\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)+2\\[0.5em]&=-\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{25}{16}+2\\[0.5em]\therefore y&=-\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{57}{16}\end{align*}$$

この2次関数における最大値は$\dfrac{57}{16}$なので、最高点におけるボールの高さは$\dfrac{57}{16}=3.5625[\text{m}]$となります。

関連：平方完成するには

解法その3

　放物線が$(0, 2), (2, 3), \left(\dfrac{5}{2}, 2\right)$を通るという部分までは解法その2と同じです。

2点が同じy座標$2$なので、これが$0$になるように3点すべてをy軸方向に$-2$だけ平行移動します。
すると平行移動後の3点の座標は$(0, 0), (2, 1), \left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$となります。
これら3点を通る放物線はx軸との共有点のx座標が$x=0, \dfrac{5}{2}$となるので方程式を$y=ax\left(x-\dfrac{5}{2}\right)$とおくことができます。

これは$(2, 1)$を通るので、代入すると

$$\begin{align*}1&=a\cdot2\cdot(2-\frac{5}{2})\\[0.5em]&=-a\\[0.5em]a&=-1\end{align*}$$

したがって、平行移動後の放物線の方程式は$y=-x\left(x-\dfrac{5}{2}\right)$であることがわかります。

平行移動前の求める放物線の方程式はy軸方向に$2$だけ平行移動した$y=-x\left(x-\dfrac{5}{2}\right)+2$となります。
これを展開、平方完成すると

$$\begin{align*}y&=-x\left(x-\dfrac{5}{2}\right)+2\\[0.5em]&=-x^2+\frac{5}{2}x+2\\[0.5em]\therefore y&=-\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{57}{16}\end{align*}$$

この2次関数における最大値は$\dfrac{57}{16}$なので、最高点におけるボールの高さは$\dfrac{57}{16}=3.5625[\text{m}]$となります。

　放物線の方程式を求める際においた2次関数の形はそれぞれ、解法その1は標準形、解法その2は一般形、解法その3は因数分解形となっています。

どのように解くかで適する2次関数の形が変わります。