平方根とは？平方根の計算法則 ~ 数学について考えてみる

平方根とは？

　正の数

a

$a$ の2乗は

a^{2}

$a^2$ となります。また、

a

$a$ と符号を反転させた負の数

- a

$-a$ も2乗すると

a^{2}

$a^2$ となります。
このとき、

a

$a$ と

- a

$-a$ は絶対値が等しい数です。また、

a^{2}

$a^2$ は必ず正の値を持ちます。

　では逆に2乗して $a^2$ になる数はなにかというと上記より $a$ と $-a$ の2つといえます。
この2乗して $a^2$ になる $a$ と $-a$ のことを $a^2$ の平方根といい、正の数 $a$ のことを正の平方根、負の数 $-a$ のことを負の平方根といいます。この2つをまとめて $\pm a$ とも書くことができます。
$0$ の平方根は、2乗して $0$ となる数は $0$ のみであることから $0$ ただ1つです。

a^{2}

$a^2$ の場合は2乗を外して符号をつけるだけでしたが、

a^{2} = b

$a^2=b$ とおいたときの

b

$b$ の平方根の表し方は正の平方根は

\sqrt{b}

$\sqrt{b}$ 、負の平方根は

- \sqrt{b}

$-\sqrt{b}$ となります。

\sqrt{}

$\sqrt{\quad}$ は根号という記号で、例えば

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ は「ルート2」と読みます。

\begin{aligned} \begin{array}{cc} 平方根 & 正の平方根 & 負の平方根 \\ a^{2} & \pm a & a & - a \\ b & \pm \sqrt{b} & \sqrt{b} & - \sqrt{b} \\ 0 & 0 \end{array} \\ (a > 0, b > 0) \end{aligned}

$\begin{align*}\begin{array}{c|c}&\textbf{平方根}&\textbf{正の平方根}&\textbf{負の平方根}\\ \hline a^2&\pm a&a&-a\\ \hline b&\pm\sqrt{b}&\sqrt{b}&-\sqrt{b}\\ \hline0&0\end{array}\\ (a>0,b>0)\end{align*}$

平方根の計算法則

　平方根の計算法則は以下のようなものです。

正の実数

a, b, k

$a, b, k$ と

0

$0$ 以外の任意の実数

c

$c$ について

\begin{align}\sqrt{a}\times\sqrt{b}&=\sqrt{ab}\\[1em]\sqrt{k^2a}&=k\sqrt{a}\\[1em]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}&=\sqrt{\frac{a}{b}}\\[1em]\sqrt{c^2}&=|c|\end{align*}

これらが成り立つことを1つ1つ確かめてみます。

平方根の計算法則が成り立つことは両辺を2乗して等しくなることから確かめることができます。

$(1)\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

a > 0, b > 0

$a>0,b>0$ より、

\sqrt{a} > 0, \sqrt{b} > 0

$\sqrt{a}>0,\sqrt{b}>0$ であり、

\sqrt{a} \times \sqrt{b} > 0

$\sqrt{a}\times\sqrt{b}>0$ です。
また、

a b > 0

$ab>0$ であり、

\sqrt{a b} > 0

$\sqrt{ab}>0$ です。

\begin{aligned} (左 辺)^{2} & = (\sqrt{a} \times \sqrt{b})^{2} \\ = (\sqrt{a})^{2} (\sqrt{b})^{2} \\ = a b \\ (右 辺)^{2} & = (\sqrt{a b})^{2} \\ = a b \end{aligned}

$\begin{align*}(左辺)^2&=\bigl(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\bigr)^2\\[0.5em]&=\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2\\[0.5em]&=ab\\[1em](右辺)^2&=\bigl(\sqrt{ab}\bigr)^2\\[0.5em]&=ab\end{align*}$

両辺ともに正かつ2乗が

a b

$ab$ であることから、両辺ともに

a b

$ab$ の正の平方根であり

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b}

$\large\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

が成り立つことがわかります。

$(2)k\sqrt{a}=\sqrt{k^2a}$

a > 0, k > 0

$a>0,k>0$ より、

\sqrt{a} > 0

$\sqrt{a}>0$ であり、

k \sqrt{a} > 0

$k\sqrt{a}>0$ です。
また、

k^{2} a > 0

$k^2a>0$ であり、

\sqrt{k^{2} a} > 0

$\sqrt{k^2a}>0$ です。

\begin{aligned} (左 辺)^{2} & = (k \sqrt{a})^{2} \\ = k^{2} (\sqrt{a})^{2} \\ = k^{2} a \\ (右 辺)^{2} & = (\sqrt{k^{2} a})^{2} \\ = k^{2} a \end{aligned}

$\begin{align*}(左辺)^2&=\bigl(k\sqrt{a}\bigr)^2\\[0.5em]&=k^2\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2\\[0.5em]&=k^2a\\[1em](右辺)^2&=\bigl(\sqrt{k^2a}\bigr)^2\\[0.5em]&=k^2a\end{align*}$

両辺ともに正かつ2乗が

k^{2} a

$k^2a$ であることから、両辺ともに

k^{2} a

$k^2a$ の正の平方根であり

k \sqrt{a} = \sqrt{k^{2} a}

$\large k\sqrt{a}=\sqrt{k^2a}$

が成り立つことがわかります。

$k$ が任意の実数である場合は $(4)$ に従います。

$(3)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

a > 0, b > 0

$a>0,b>0$ より、

\sqrt{a} > 0, \sqrt{b} > 0

$\sqrt{a}>0,\sqrt{b}>0$ であり、

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} > 0

$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}>0$ です。
また、

\frac{a}{b} > 0

$\dfrac{a}{b}>0$ であり、

\sqrt{\frac{a}{b}} > 0

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}>0$ です。

\begin{aligned} {(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})}^{2} & = \frac{(\sqrt{a})^{2}}{(\sqrt{b})^{2}} \\ = \frac{a}{b} \\ {(\sqrt{\frac{a}{b}})}^{2} & = \frac{a}{b} \end{aligned}

$\begin{align*}\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2&=\frac{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2}{\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2}\\[0.5em]&=\frac{a}{b}\\[1em]\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2&=\frac{a}{b}\end{align*}$

両辺ともに正かつ2乗が

\frac{a}{b}

$\dfrac{a}{b}$ であることから、両辺ともに

\frac{a}{b}

$\dfrac{a}{b}$ の正の平方根であり

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

$\large\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

が成り立つことがわかります。

$(4)\sqrt{c^2}=|c|$

\sqrt{c^{2}}

$\sqrt{c^2}$ は

c^{2}

$c^2$ の正の平方根です。

c^{2}

$c^2$ の平方根は

- c

$-c$ と

c

$c$ で、正の平方根である、すなわち

\sqrt{c^{2}}

$\sqrt{c^2}$ と等しいのは、

c

$c$ が負の数、すなわち

c < 0

$c<0$ のとき

\begin{matrix} (i) & \sqrt{c^{2}} = - c \end{matrix}

$\sqrt{c^2}=-c\tag{i}$

c

$c$ が正の数、すなわち

c > 0

$c>0$ のとき

\begin{matrix} (ii) & \sqrt{c^{2}} = c \end{matrix}

$\sqrt{c^2}=c\tag{ii}$

となります。

(i),(ii)

$\text{(i),(ii)}$ をまとめれば

\sqrt{c^{2}} = {\begin{cases} - c & (c < 0) \\ c & (c > 0) \end{cases}

$\sqrt{c^2}=\begin{cases}-c&(c<0)\\[0.5em]c&(c>0)\end{cases}$

となります。

ここで、

c

$c$ の絶対値について考えると

| c | = {\begin{cases} - c & (c < 0) \\ c & (c > 0) \end{cases}

$|c|=\begin{cases}-c&(c<0)\\[0.5em]c&(c>0)\end{cases}$

です。

したがって、

\sqrt{c^{2}}

$\sqrt{c^2}$ と

| c |

$|c|$ で同じ結果となるということは等しいということなので、

\sqrt{c^{2}} = | c |

$\large\sqrt{c^2}=|c|$

が成り立つことがわかります。

(2025/6)内容を一部修正しました。

数学について考えてみる

2023年4月25日

平方根とは？平方根の計算法則

平方根とは？