平方根とは？平方根の計算法則 ~ 数学について考えてみる

2023年4月25日

平方根とは？平方根の計算法則

PLUMBAGO

平方根とは？

　正の数

$a$ の2乗は

$a^2$ となります。また、

$a$ と符号を反転させた負の数

$-a$ も2乗すると

$a^2$ となります。
このとき、

$a$ と

$-a$ は絶対値が等しい数です。また、

$a^2$ は必ず正の値を持ちます。

　では逆に2乗して $a^2$ になる数はなにかというと上記より $a$ と $-a$ の2つといえます。
この2乗して $a^2$ になる $a$ と $-a$ のことを $a^2$ の平方根といい、正の数となる $a$ のことを正の平方根、 $-a$ のことを負の平方根といいます。この2つをまとめて $\pm a$ とも書きます。
$0$ の平方根は、2乗して $0$ となる数は $0$ のみであることから $0$ ただ1つです。

$a^2$ の場合は2乗を外して符号をつけるだけでしたが、

$a^2=b$ とおいたときの

$b$ の平方根の表し方は正の平方根は

$\sqrt{b}$ 、負の平方根は

$-\sqrt{b}$ となります。

$\sqrt{\quad}$ は根号という記号で、例えば

$\sqrt{2}$ は「ルート2」と読みます。

$\begin{align*}\begin{array}{c|c}&\textbf{平方根}&\textbf{正の平方根}&\textbf{負の平方根}\\ \hline a^2&\pm a&a&-a\\ \hline b&\pm\sqrt{b}&\sqrt{b}&-\sqrt{b}\\ \hline0&0\end{array}\\ (a>0,b>0)\end{align*}$

平方根の計算法則

　平方根の計算法則は以下のようなものです。

$a>0,b>0,k>0,c:任意の実数$ のとき

$\begin{align*}\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}&=\sqrt{ab}\tag1\\[0.5em]\sqrt{k^2a}&=k\sqrt{a}\tag2\\[0.5em]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}&=\sqrt{\frac{a}{b}}\tag3\\[0.5em]\sqrt{c^2}&=|c|\tag4\end{align*}$

なぜこれが成り立つのかを確かめます。

平方根の計算法則が成り立つことは両辺を2乗して等しくなることから確かめることができます。

$(1)\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

$a>0,b>0$ のとき

$\begin{align*}(左辺)^2&=\left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)^2\\[0.5em]&=\left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt{b}\right)^2\\[0.5em]&=ab\\[1.5em](右辺)^2&=\left(\sqrt{ab}\right)^2\\[0.5em]&=ab\end{align*}$

両辺ともに正かつ

$(左辺)^2=(右辺)^2=ab$ であることから、両辺がどちらも

$ab$ の正の平方根となるので

$(1)$ が成り立つことがわかります。

$(2)k\sqrt{a}=\sqrt{k^2a}$

$a>0,k>0$ のとき

$\begin{align*}(左辺)^2&=\left(k\sqrt{a}\right)^2\\[0.5em]&=k^2\left(\sqrt{a}\right)^2\\[0.5em]&=k^2a\\[1.5em](右辺)^2&=\left(\sqrt{k^2a}\right)^2\\[0.5em]&=k^2a\end{align*}$

両辺ともに正かつ

$(左辺)^2=(右辺)^2=k^2a$ であることから、

$(2)$ が成り立つことがわかります。

$k$ が任意の実数である場合は

$(4)$ に従います。

$(3)\tfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\tfrac{a}{b}}$

$a>0,b>0$ のとき

$\begin{align*}\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2&=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{a}{b}\\[1.5em]\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2&=\frac{a}{b}\end{align*}$

両辺ともに正かつ

$(左辺)^2=(右辺)^2=\dfrac{a}{b}$ であることから

$(3)$ が成り立つことがわかります。