平方根とは？ 平方根の計算法則

平方根とは？

　正の数$a$の2乗は$a^2$となります。また、$a$と符号を反転させた負の数$-a$も2乗すると$a^2$となります。
このとき、$a$と$-a$は絶対値が等しい数です。また、$a^2$は必ず正の値を持ちます。

　では逆に2乗して$a^2$になる数はなにかというと上記より$a$と$-a$の2つと言えます。
この2乗して$a^2$になる$a$と$-a$のことを$a^2$の平方根といい、正の数となる$a$のことを正の平方根、$-a$のことを負の平方根といいます。この2つをまとめて$\pm a$とも書きます。
$0$の平方根は、2乗して$0$となる数は$0$のみであることから$0$ただ1つです。

$a^2$の場合は2乗を外して符号をつけるだけでしたが、$a^2=b$とおいたときの$b$の平方根の表し方は正の平方根は$\sqrt{b}$、負の平方根は$-\sqrt{b}$となります。$\sqrt{\quad}$は根号という記号で、例えば$\sqrt{2}$は「ルート2」と読みます。

\begin{align*}\begin{array}{c|c}&平方根&正の平方根&負の平方根\\ \hline a^2&\pm a&a&-a\\ \hline b&\pm\sqrt{b}&\sqrt{b}&-\sqrt{b}\\ \hline0&0\end{array}\\ (a>0,b>0)\end{align*}

平方根の計算法則

　平方根の計算法則は以下のようなものです。
$a>0,b>0,k>0,c:\text{任意の実数}$のとき

\begin{align*}\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}&=\sqrt{ab}&\cdots(1)\\[0.5em]\sqrt{k^2a}&=k\sqrt{a}&\cdots(2)\\[0.5em]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}&=\sqrt{\frac{a}{b}}&\cdots(3)\\[0.5em]\sqrt{c^2}&=|c|&\cdots(4)\end{align*}

なぜこれが成り立つのかを確かめます。

平方根の計算法則が成り立つことは両辺を2乗して等しくなることから確かめることができます。

(1)$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

　$a>0,b>0$のとき

\begin{align*}(左辺)^2&=\left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)^2\\[0.5em]&=\left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt{b}\right)^2\\[0.5em]&=ab\\[1.5em](右辺)^2&=\left(\sqrt{ab}\right)^2\\[0.5em]&=ab\end{align*}

両辺ともに正かつ$(左辺)^2=(右辺)^2=ab$であることから、両辺がどちらも$ab$の正の平方根となるので$(1)$が成り立つことがわかります。

(2)$k\sqrt{a}=\sqrt{k^2a}$

　$a>0,k>0$のとき

\begin{align*}(左辺)^2&=\left(k\sqrt{a}\right)^2\\[0.5em]&=k^2\left(\sqrt{a}\right)^2\\[0.5em]&=k^2a\\[1.5em](右辺)^2&=\left(\sqrt{k^2a}\right)^2\\[0.5em]&=k^2a\end{align*}

両辺ともに正かつ$(左辺)^2=(右辺)^2=k^2a$であることから、$(2)$が成り立つことがわかります。

$k$が任意の実数である場合は$(4)$に従います。

(3)$\tfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\tfrac{a}{b}}$

　$a>0,b>0$のとき

\begin{align*}\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2&=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{a}{b}\\[1.5em]\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2&=\frac{a}{b}\end{align*}

両辺ともに正かつ$(左辺)^2=(右辺)^2=\dfrac{a}{b}$であることから$(3)$が成り立つことがわかります。

(4)$\sqrt{c^2}=|c|$

　$\sqrt{c^2}$は$c^2$の正の平方根です。したがって、等式の右辺もまた正の数でなければなりません。

$c$が負の数の場合と$0$以上の場合に分けて考えると、それぞれ$\sqrt{c^2}$と等しいのは

\[\begin{aligned}c<0のとき\\ \sqrt{c^2}&=-c&\cdots(\mathrm{i})\\[1.5em]c\geqq0のとき\\ \sqrt{c^2}&=c&\cdots(\mathrm{ii})\end{aligned}\]

となります。$\mathrm{(i),(ii)}$をまとめれば
\[\sqrt{c^2}=\begin{cases}-c&(c<0)\\[0.5em]c&(c\geqq0)\end{cases}\]
であり、右辺と同じ場合分けとなるものは$|c|$です。

したがって、$\mathrm{(i),(ii)}$をまとめて1つの式で表すとき、右辺は$|c|$と書くことができるので$(4)$が成り立つことがわかります。

リンク