xの2次式の因数分解で利用する因数分解公式には
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+2ax+a2=(x+a)2x2−2ax+a2=(x−a)2x2−a2=(x+a)(x−a)acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)a2x2+2abx+b2=(ax+b)2a2x2−2abx+b2=(ax−b)2ax2−b2=(ax+b)(ax−b)
があります。
これらの公式は、因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができます。
x2+(a+b)x+ab
xの2次式
x2+(a+b)x+abは以下のように因数分解します。
x2+(a+b)x+ab=x2+(ax+bx)+ab=x2+ax+bx+ab=(x2+ax)+(bx+ab)=x(x+a)+b(x+a)∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x2+2ax+a2
xの2次式
x2+2ax+a2は以下のように因数分解します。
x2+2ax+a2=x2+(ax+ax)+a2=x2+ax+ax+a2=(x2+ax)+(ax+a2)=x(x+a)+a(x+a)=(x+a)(x+a)∴x2+2ax+a2=(x+a)2
別の方法として、
x2+(a+b)x+abの因数分解公式に
b=aを代入すると
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+(a+a)x+a⋅a=(x+a)(x+a)∴x2+2ax+a2=(x+a)2
となり、
x2+2ax+a2の因数分解公式を得ることができます。
x2−2ax+a2
xの2次式
x2−2ax+a2は
x2+2ax+a2と同様に因数分解します。
x2−2ax+a2=x2−ax−ax+a2=x2−ax+(−ax)+a2=(x2−ax)+(−ax+a2)=(x2−ax)+{−ax−(−a2)}=x(x−a)+(−a)(x−a)=x(x−a)−a(x−a)=(x−a)(x−a)∴x2−ax+a2=(x−a)2
別の方法として、
x2+2ax+a2の因数分解公式に
a=−a′を代入する方法があります。
x2+2ax+a2=(x+a)2x2+2(−a′)x+(−a′)2={x+(−a′)}2∴x2−2a′x+a′2=(x−a′)2
となり、これは
x2−2ax+a2の因数分解公式
x2−2ax+a2=(x−a)2
を得たことになります。
x2−a2
xの2次式
x2−a2は以下のように因数分解します。
x2−a2=x2+0−a2=x2+(ax−ax)−a2=x2+ax−ax−a2=(x2+ax)+(−ax−a2)=(x2+ax)+{−ax−(−a2)}=x(x+a)+(−a)(x+a)=x(x+a)−a(x+a)∴x2−a2=(x+a)(x−a)
別の方法として、
x2+2ax+a2の因数分解公式に
b=−aを代入すると
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+{a+(−a)}x+a(−a)=(x+a){x+(−a)}∴x2−a2=(x+a)(x−a)
となり、
x2−a2の因数分解公式を得ることができます。
acx2+(ad+bc)x+bd
xの2次式
acx2+(ad+bc)x+bdは以下のように因数分解します。
acx2+(ad+bc)x+bd=acx2+(adx+bcx)+bd=acx2+adx+bcx+bd=acx2+bcx+adx+bd=(acx2+bcx)+(adx+bd)=cx(ax+b)+d(ax+b)∴acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
また、
a=c=1を代入すると
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)x2+(d+b)x+bd=(x+b)(x+d)
となり、
x2+(a+b)x+abの因数分解公式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
を得ることができます。
a2x2+2abx+b2
xの2次式
a2x2+2abx+b2は、以下のように
x2+2a+a2の因数分解と同様の方法で因数分解します。
a2x2+2abx+b2=a2x2+abx+abx+b2=(a2x2+abx)+(abx+b2)=ax(ax+b)+b(ax+b)=(ax+b)(ax+b)∴a2x2+2abx+b2=(ax+b)2
別の方法として、
acx2+(ad+bc)x+bdの因数分解公式に
c=a,d=bを代入すると
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)a2x2+(ab+ba)x+b2=(ax+b)(ax+b)∴a2x2+2abx+b2=(ax+b)2
となり、
a2x2+2abx+b2の因数分解公式を得ることができます。
a2x2−2abx+b2
xの2次式
a2x2−2abx+b2は、以下のように
x2−2a+a2の因数分解と同様の方法で因数分解します。
a2x2−2abx+b2=a2x2−abx−abx+b2=(a2x2−abx)+(−abx+b2)=ax(ax−b)−b(ax−b)=(ax−b)(ax−b)∴ax2−2abx+b2/large=(ax−b)2
別の方法として、
a2x2+2abx+b2の因数分解公式に
b=−b′を代入する方法があります。
a2x2+2abx+b2=(ax+b)2a2x2+2a(−b′)x+(−b′)2={ax+(−b′)}∴a2x2−2ab′x+b′2=(ax−b′)2
となり、これは
a2x2−2abx+b2の因数分解公式
a2x2−2abx+b2=(ax−b)2
を得たことになります。
a2x2−b2
xの2次式
a2x2−b2は、以下のように
x2−a2の因数分解と同様の方法で因数分解します。
a2x2−b2=a2x2+0−b2=a2x2+(abx−abx)−b2=(a2x2+abx)+(−abx−b2)=ax(ax+b)−b(ax+b)∴a2x2−b2=(ax+b)(ax−b)
別の方法として、
acx2+(ad+bc)x+bdの因数分解公式に
c=a,d=−bを代入すると
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)a2x2+{a(−b)+ba}x+b(−b)=(ax+b)bigl{ax+(−b)}a2x2+(−ab+ab)x−b2=(ax+b)(ax−b)∴a2x2−b2=(ax+b)(ax−b)
となり、
a2x2−b2の因数分解公式を得ることができます。