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2025年5月28日

xの2次式の因数分解で使う因数分解公式

 xの2次式の因数分解で利用する因数分解公式には
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+2ax+a2=(x+a)2x22ax+a2=(xa)2x2a2=(x+a)(xa)acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)a2x2+2abx+b2=(ax+b)2a2x22abx+b2=(axb)2ax2b2=(ax+b)(axb)
があります。

これらの公式は、因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができます。


x2+(a+b)x+ab

 xの2次式x2+(a+b)x+abは以下のように因数分解します。
x2+(a+b)x+ab=x2+(ax+bx)+ab=x2+ax+bx+ab=(x2+ax)+(bx+ab)=x(x+a)+b(x+a)x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x2+2ax+a2

 xの2次式x2+2ax+a2は以下のように因数分解します。
x2+2ax+a2=x2+(ax+ax)+a2=x2+ax+ax+a2=(x2+ax)+(ax+a2)=x(x+a)+a(x+a)=(x+a)(x+a)x2+2ax+a2=(x+a)2
別の方法として、x2+(a+b)x+abの因数分解公式にb=aを代入すると
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+(a+a)x+aa=(x+a)(x+a)x2+2ax+a2=(x+a)2
となり、x2+2ax+a2の因数分解公式を得ることができます。

x22ax+a2

 xの2次式x22ax+a2x2+2ax+a2と同様に因数分解します。
x22ax+a2=x2axax+a2=x2ax+(ax)+a2=(x2ax)+(ax+a2)=(x2ax)+{ax(a2)}=x(xa)+(a)(xa)=x(xa)a(xa)=(xa)(xa)x2ax+a2=(xa)2
別の方法として、x2+2ax+a2の因数分解公式にa=aを代入する方法があります。
x2+2ax+a2=(x+a)2x2+2(a)x+(a)2={x+(a)}2x22ax+a2=(xa)2
となり、これはx22ax+a2の因数分解公式
x22ax+a2=(xa)2
を得たことになります。

x2a2

 xの2次式x2a2は以下のように因数分解します。
x2a2=x2+0a2=x2+(axax)a2=x2+axaxa2=(x2+ax)+(axa2)=(x2+ax)+{ax(a2)}=x(x+a)+(a)(x+a)=x(x+a)a(x+a)x2a2=(x+a)(xa)
別の方法として、x2+2ax+a2の因数分解公式にb=aを代入すると
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+{a+(a)}x+a(a)=(x+a){x+(a)}x2a2=(x+a)(xa)
となり、x2a2の因数分解公式を得ることができます。

acx2+(ad+bc)x+bd

 xの2次式acx2+(ad+bc)x+bdは以下のように因数分解します。
acx2+(ad+bc)x+bd=acx2+(adx+bcx)+bd=acx2+adx+bcx+bd=acx2+bcx+adx+bd=(acx2+bcx)+(adx+bd)=cx(ax+b)+d(ax+b)acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
また、a=c=1を代入すると
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)x2+(d+b)x+bd=(x+b)(x+d)
となり、x2+(a+b)x+abの因数分解公式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
を得ることができます。

a2x2+2abx+b2

 xの2次式a2x2+2abx+b2は、以下のようにx2+2a+a2の因数分解と同様の方法で因数分解します。
a2x2+2abx+b2=a2x2+abx+abx+b2=(a2x2+abx)+(abx+b2)=ax(ax+b)+b(ax+b)=(ax+b)(ax+b)a2x2+2abx+b2=(ax+b)2
別の方法として、acx2+(ad+bc)x+bdの因数分解公式にc=a,d=bを代入すると
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)a2x2+(ab+ba)x+b2=(ax+b)(ax+b)a2x2+2abx+b2=(ax+b)2
となり、a2x2+2abx+b2の因数分解公式を得ることができます。

a2x22abx+b2

 xの2次式a2x22abx+b2は、以下のようにx22a+a2の因数分解と同様の方法で因数分解します。
a2x22abx+b2=a2x2abxabx+b2=(a2x2abx)+(abx+b2)=ax(axb)b(axb)=(axb)(axb)ax22abx+b2/large=(axb)2
別の方法として、a2x2+2abx+b2の因数分解公式にb=bを代入する方法があります。
a2x2+2abx+b2=(ax+b)2a2x2+2a(b)x+(b)2={ax+(b)}a2x22abx+b2=(axb)2
となり、これはa2x22abx+b2の因数分解公式
a2x22abx+b2=(axb)2
を得たことになります。

a2x2b2

 xの2次式a2x2b2は、以下のようにx2a2の因数分解と同様の方法で因数分解します。
a2x2b2=a2x2+0b2=a2x2+(abxabx)b2=(a2x2+abx)+(abxb2)=ax(ax+b)b(ax+b)a2x2b2=(ax+b)(axb)
別の方法として、acx2+(ad+bc)x+bdの因数分解公式にc=a,d=bを代入すると
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)a2x2+{a(b)+ba}x+b(b)=(ax+b)bigl{ax+(b)}a2x2+(ab+ab)xb2=(ax+b)(axb)a2x2b2=(ax+b)(axb)
となり、a2x2b2の因数分解公式を得ることができます。

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