$x$の2次式の因数分解で利用する因数分解公式には
\begin{align*}x^2+(a+b)x
+ab&=(x+a)(x+b)\\[1em]x^2+2ax+a^2&=(x+a)^2\\[1em]x^2-2ax+a^2&=(x-a)^2\\[1em]x^2-a^2&=(x+a)(x-a)\\[1em]acx^2+(ad+bc)x
+bd&=(ax+b)(cx+d)\\[1em]a^2x^2+2abx+b^2&=(ax+b)^2\\[1em]a^2x^2-2abx+b^2&=(ax-b)^2\\[1em]ax^2-b^2&=(ax+b)(ax-b)\end{align*}
があります。
これらの公式は、因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができます。
$x^2+(a+b)x +ab$
$x$の2次式$x^2+(a+b)x +ab$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}x^2+(a+b)x +ab&=x^2+(ax
+bx)+ab\\[0.5em]&=x^2+ax+bx+ab\\[0.5em]&=(x^2+ax)+(bx
+ab)\\[0.5em]&=x(x+a)+b(x+a)\\[0.5em]\large\therefore x^2+(a+b)x
+ab&\large=(x+a)(x+b)\end{align*}
$x^2+2ax+a^2$
$x$の2次式$x^2+2ax+a^2$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}x^2+2ax+a^2&=x^2+(ax
+ax)+a^2\\[0.5em]&=x^2+ax+ax+a^2\\[0.5em]&=(x^2+ax)+(ax+a^2)\\[0.5em]&=x(x+a)+a(x+a)\\[0.5em]&=(x+a)(x+a)\\[0.5em]\large\therefore
x^2+2ax+a^2&\large=(x+a)^2\end{align*}
別の方法として、$x^2+(a+b)x +ab$の因数分解公式に$b=a$を代入すると
\begin{align*}x^2+(a+b)x +ab&=(x+a)(x+b)\\[0.5em]x^2+(a +a)x+a\cdot
a&=(x+a)(x+a)\\[0.5em]\therefore
x^2+2ax+a^2&=(x+a)^2\end{align*}
となり、$x^2+2ax+a^2$の因数分解公式を得ることができます。
$x^2-2ax+a^2$
$x$の2次式$x^2-2ax+a^2$は$x^2+2ax+a^2$と同様に因数分解します。
\begin{align*}x^2-2ax+a^2&=x^2-ax-ax+a^2\\[0.5em]&=x^2-ax+(-ax)+a^2\\[0.5em]&=(x^2-ax)+(-ax+a^2)\\[0.5em]&=(x^2-ax)+\bigl\{-ax-(-a^2)\bigr\}\\[0.5em]&=x(x-a)+(-a)(x-a)\\[0.5em]&=x(x-a)-a(x-a)\\[0.5em]&=(x-a)(x-a)\\[0.5em]\large\therefore
x^2-ax+a^2&\large=(x-a)^2\end{align*}
別の方法として、$x^2+2ax+a^2$の因数分解公式に$a=-a'$を代入する方法があります。
\begin{align*}x^2+2ax+a^2&=(x+a)^2\\[0.5em]x^2+2(-a')x+(-a')^2&=\bigl\{x+(-a')\bigr\}^2\\[0.5em]\therefore
x^2-2a'x+{a'}^2&=(x-a')^2\end{align*}
となり、これは$x^2-2ax+a^2$の因数分解公式
\[x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\]
を得たことになります。$x^2-a^2$
$x$の2次式$x^2-a^2$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}x^2-a^2&=x^2+0-a^2\\[0.5em]&=x^2+(ax-ax)-a^2\\[0.5em]&=x^2+ax-ax-a^2\\[0.5em]&=(x^2+ax)+(-ax-a^2)\\[0.5em]&=(x^2+ax)+\bigl\{-ax-(-a^2)\bigr\}\\[0.5em]&=x(x+a)+(-a)(x+a)\\[0.5em]&=x(x+a)-a(x+a)\\[0.5em]\large\therefore
x^2-a^2&\large=(x+a)(x-a)\end{align*}
別の方法として、$x^2+2ax+a^2$の因数分解公式に$b=-a$を代入すると
\begin{align*}x^2+(a+b)x
+ab&=(x+a)(x+b)\\[0.5em]x^2+\bigl\{a+(-a)\bigr\}x+a(-a)&=(x+a)\bigl\{x+(-a)\bigr\}\\[0.5em]\therefore
x^2-a^2&=(x+a)(x-a)\end{align*}
となり、$x^2-a^2$の因数分解公式を得ることができます。
$acx^2+(ad+bc)x +bd$
$x$の2次式$acx^2+(ad+bc)x +bd$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}acx^2+(ad+bc)x +bd&=acx^2+(ad x +bc
x)+bd\\[0.5em]&=acx^2+ad x +bc x +bd\\[0.5em]&=acx^2+bc x +ad x
+bd\\[0.5em]&=(acx^2+bc x)+(ad x
+bd)\\[0.5em]&=cx(ax+b)+d(ax+b)\\[0.5em]\large\therefore
acx^2+(ad+bc)x +bd&\large=(ax+b)(cx+d)\end{align*}
また、$a=c=1$を代入すると
\begin{align*}acx^2+(ad+bc)x +bd&=(ax+b)(cx+d)\\[0.5em]x^2+(d +b)x
+bd&=(x+b)(x +d)\end{align*}
となり、$x^2+(a+b)x+ab$の因数分解公式
\[x^2+(a+b)x +ab=(x+a)(x+b)\]
を得ることができます。
$a^2x^2+2abx+b^2$
$x$の2次式$a^2x^2+2abx+b^2$は、以下のように$x^2+2a+a^2$の因数分解と同様の方法で因数分解します。
\begin{align*}a^2x^2+2abx+b^2&=a^2x^2+abx+abx+b^2\\[0.5em]&=(a^2x^2+abx)+(abx+b^2)\\[0.5em]&=ax(ax+b)+b(ax+b)\\[0.5em]&=(ax+b)(ax+b)\\[0.5em]\large\therefore
a^2x^2+2abx+b^2&\large=(ax+b)^2\end{align*}
別の方法として、$acx^2+(ad+bc)x +bd$の因数分解公式に$c=a, d=b$を代入すると
\begin{align*}acx^2+(ad+bc)x +bd&=(ax+b)(cx+d)\\[0.5em]a^2x^2+(ab
+ba)x+b^2&=(ax+b)(ax+b)\\[0.5em]\therefore
a^2x^2+2abx+b^2&=(ax+b)^2\end{align*}
となり、$a^2x^2+2abx+b^2$の因数分解公式を得ることができます。
$a^2x^2-2abx+b^2$
$x$の2次式$a^2x^2-2abx+b^2$は、以下のように$x^2-2a+a^2$の因数分解と同様の方法で因数分解します。
\begin{align*}a^2x^2-2abx+b^2&=a^2x^2-abx-abx+b^2\\[0.5em]&=(a^2x^2-abx)+(-abx+b^2)\\[0.5em]&=ax(ax-b)-b(ax-b)\\[0.5em]&=(ax-b)(ax-b)\\[0.5em]\large\therefore
ax^2-2abx+b^2&/large=(ax-b)^2\end{align*}
別の方法として、$a^2x^2+2abx+b^2$の因数分解公式に$b=-b'$を代入する方法があります。
\begin{align*}a^2x^2+2abx+b^2&=(ax+b)^2\\[0.5em]a^2x^2+2a(-b')x+(-b')^2&=\bigl\{ax+(-b')\bigr\}\\[0.5em]\therefore a^2x^2-2ab'x+{b'}^2&=(ax-b')^2\end{align*}
となり、これは$a^2x^2-2abx+b^2$の因数分解公式
\[a^2x^2-2abx+b^2=(ax-b)^2\]
を得たことになります。
$a^2x^2-b^2$
$x$の2次式$a^2x^2-b^2$は、以下のように$x^2-a^2$の因数分解と同様の方法で因数分解します。
\begin{align*}a^2x^2-b^2&=a^2x^2+0-b^2\\[0.5em]&=a^2x^2+(abx
-abx)-b^2\\[0.5em]&=(a^2x^2+abx)+(-abx-b^2)\\[0.5em]&=ax(ax+b)-b(ax+b)\\[0.5em]\large\therefore
a^2x^2-b^2&\large=(ax+b)(ax-b)\end{align*}
別の方法として、$acx^2+(ad+bc)x +bd$の因数分解公式に$c=a,
d=-b$を代入すると
\begin{align*}acx^2+(ad+bc)x
+bd&=(ax+b)(cx+d)\\[0.5em]a^2x^2+\bigl\{a(-b)
+ba\bigr\}x+b(-b)&=(ax+b)bigl\{ax+(-b)\bigr\}\\[0.5em]a^2x^2+(-ab
+ab)x-b^2&=(ax+b)(ax-b)\\[0.5em]\therefore
a^2x^2-b^2&=(ax+b)(ax-b)\end{align*}
となり、$a^2x^2-b^2$の因数分解公式を得ることができます。
Share:
