$x$の3次式の因数分解公式には以下のようなものがあります。
\begin{align*}x^3+3ax^2+3a^2x+a^3&=(x+a)^3\\[1em]x^3-3ax^2+3a^2x-a^3&=(x-a)^3\\[1em]x^3+a^3&=(x+a)(x^2-ax+a^2)\\[1em]x^3-a^3&=(x-a)(x^2+ax+a^2)\end{align*}
これらは$x$の2次式の因数分解公式と同様に、因数分解の基本の共通因数の括りだしによって導き出すことができます。
$x^3+3ax^2+3a^2x+a^3$
$x$の3次式$x^3+3ax^2+3a^2x+a^3$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}x^3+3ax^2+3a^2x+a^3&=x^3+(ax^2+2ax^2)+(2a^2x+a^2x)+a^3\\[0.5em]&=x^3+ax^2+2ax^2+2a^2x+a^2x+a^3\\[0.5em]&=(x^3+ax^2)+(2ax^2+2a^2x)+(a^2x+a^3)\\[0.5em]&=x^2(x+a)+2ax(x+a)+a^2(x+a)\\[0.5em]&=(x+a)(x^2+2ax+a^2)\\[0.5em]&=(x+a)(x+a)^2\\[0.5em]\large\therefore
x^3+3ax^2+3a^2x+a^3&\large=(x+a)^3\end{align*}
$x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$
$x$の3次式$x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}x^3-3ax^2+3a^2x-a^3&=x^3+(-3ax^2)+3a^2x-a^3\\[0.5em]&=x^3+\bigl\{(-ax^2)+(-2ax^2)\bigr\}+(2a^2x+a^2x)-a^3\\[0.5em]&=x^3+(-ax^2)+(-2ax^2)+2a^2x+a^2x-a^3\\[0.5em]&=x^3-ax^2+(-2ax^2)+2a^2x+a^2x-a^3\\[0.5em]&=(x^3-ax^2)+(-2ax^2+2a^2x)+(a^2x-a^3)\\[0.5em]&=(x^3-ax^2)+(-2ax^2+2a^2x)+(a^2x-a^3)\\[0.5em]&=x^2(x-a)+(-2ax)(x-a)+a^2(x-a)\\[0.5em]&=x^2(x-a)-2ax(x-a)+a^2(x-a)\\[0.5em]&=(x-a)(x^2-2ax+a^2)\\[0.5em]&=(x-a)(x-a)^2\\[0.5em]\large\therefore
x^3-3ax^2+3a^2x-a^3&\large=(x-a)^3\end{align*}
別の方法として、$x^3+3ax^2+3a^2x+a^3$の因数分解公式に$a=-a'$を代入する方法があります。
\begin{align*}x^3+3ax^2+3a^2x+a^3&=(x+a)^3\\[0.5em]x^3+3(-a')x^2+3(-a')^2x+(-a')^3&=\bigl\{x+(-a')\bigr\}^3\\[0.5em]\therefore
x^3-3a'x^2+3{a'}^2x-{a'}^3&=(x-a')^3\end{align*}
となり、これは$x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$の因数分解公式
\[ x^3-3ax^2+3a^2x-a^3=(x-a)^3\]
を得たことになります。
$x^3+a^3$
$x$の3次式$x^3+a^3$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}x^3+a^3&=x^3+0+0+a^3\\[0.5em]&=x^3+(ax^2-ax^2)+(-a^2x+a^2x)+a^3\\[0.5em]&=x^3+ax^2-ax^2+(-a^2x)+a^2x+a^3\\[0.5em]&=x^3+ax^2+(-ax^2)+(-a^2x)+a^2x+a^3\\[0.5em]&=(x^3+ax^2)+\bigl\{(-ax^2)+(-a^2x)\bigr\}+(a^2x+a^3)\\[0.5em]&=x^2(x+a)+(-ax)(x+a)+a^2(x+a)\\[0.5em]&=x^2(x+a)-ax(x+a)+a^2(x+a)\\[0.5em]\large\therefore
x^3+a^3&\large=(x+a)(x^2-ax+a^2)\end{align*}
$x^3-a^3$
$x$の3次式$x^3-a^3$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}x^3-a^3&=x^3+0+0-a^3\\[0.5em]&=x^3+(-ax^2+ax^2)+(-a^2x+a^2x)-a^3\\[0.5em]&=x^3+(-ax^2)+ax^2+(-a^2x)+a^2x-a^3\\[0.5em]&=x^3-ax^2+ax^2-a^2x+a^2x-a^3\\[0.5em]&=(x^3-ax^2)+(ax^2-a^2x)+(a^2x-a^3)\\[0.5em]&=x^2(x-a)+ax(x-a)+a^2(x-a)\\[0.5em]\large\therefore
x^3-a^3&\large=(x-a)(x^2+ax+a^2)\end{align*}
別の方法として、$x^3+a^3$の因数分解公式に$a=-a'$を代入する方法があります。
\begin{align*}x^3+a^3&=(x+a)(x^2-ax+a^2)\\[0.5em]x^3+(-a')^3&=\bigl\{x+(-a')\bigr\}\bigl\{x^2-(-a')x+(-a')^2\bigr\}\\[0.5em]\therefore
x^3-{a'}^3&=(x-a')(x^2+a'x+{a'}^2)\end{align*}
となり、これは$x^3-a^3$の因数分解公式
\[x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)\]
を得たことになります。
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