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2025年5月29日

xの3次式の因数分解公式

 xの3次式の因数分解公式には以下のようなものがあります。
x3+3ax2+3a2x+a3=(x+a)3x33ax2+3a2xa3=(xa)3x3+a3=(x+a)(x2ax+a2)x3a3=(xa)(x2+ax+a2)
これらはxの2次式の因数分解公式と同様に、因数分解の基本の共通因数の括りだしによって導き出すことができます。

x3+3ax2+3a2x+a3

 xの3次式x3+3ax2+3a2x+a3は以下のように因数分解します。
x3+3ax2+3a2x+a3=x3+(ax2+2ax2)+(2a2x+a2x)+a3=x3+ax2+2ax2+2a2x+a2x+a3=(x3+ax2)+(2ax2+2a2x)+(a2x+a3)=x2(x+a)+2ax(x+a)+a2(x+a)=(x+a)(x2+2ax+a2)=(x+a)(x+a)2x3+3ax2+3a2x+a3=(x+a)3

x33ax2+3a2xa3

 xの3次式x33ax2+3a2xa3は以下のように因数分解します。
x33ax2+3a2xa3=x3+(3ax2)+3a2xa3=x3+{(ax2)+(2ax2)}+(2a2x+a2x)a3=x3+(ax2)+(2ax2)+2a2x+a2xa3=x3ax2+(2ax2)+2a2x+a2xa3=(x3ax2)+(2ax2+2a2x)+(a2xa3)=(x3ax2)+(2ax2+2a2x)+(a2xa3)=x2(xa)+(2ax)(xa)+a2(xa)=x2(xa)2ax(xa)+a2(xa)=(xa)(x22ax+a2)=(xa)(xa)2x33ax2+3a2xa3=(xa)3
別の方法として、x3+3ax2+3a2x+a3の因数分解公式にa=aを代入する方法があります。
x3+3ax2+3a2x+a3=(x+a)3x3+3(a)x2+3(a)2x+(a)3={x+(a)}3x33ax2+3a2xa3=(xa)3
となり、これはx33ax2+3a2xa3の因数分解公式
x33ax2+3a2xa3=(xa)3
を得たことになります。

x3+a3

 xの3次式x3+a3は以下のように因数分解します。
x3+a3=x3+0+0+a3=x3+(ax2ax2)+(a2x+a2x)+a3=x3+ax2ax2+(a2x)+a2x+a3=x3+ax2+(ax2)+(a2x)+a2x+a3=(x3+ax2)+{(ax2)+(a2x)}+(a2x+a3)=x2(x+a)+(ax)(x+a)+a2(x+a)=x2(x+a)ax(x+a)+a2(x+a)x3+a3=(x+a)(x2ax+a2)

x3a3

 xの3次式x3a3は以下のように因数分解します。
x3a3=x3+0+0a3=x3+(ax2+ax2)+(a2x+a2x)a3=x3+(ax2)+ax2+(a2x)+a2xa3=x3ax2+ax2a2x+a2xa3=(x3ax2)+(ax2a2x)+(a2xa3)=x2(xa)+ax(xa)+a2(xa)x3a3=(xa)(x2+ax+a2)
別の方法として、x3+a3の因数分解公式にa=aを代入する方法があります。
x3+a3=(x+a)(x2ax+a2)x3+(a)3={x+(a)}{x2(a)x+(a)2}x3a3=(xa)(x2+ax+a2)
となり、これはx3a3の因数分解公式
x3a3=(xa)(x2+ax+a2)
を得たことになります。

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