log0はどんな数？

　$\log{0}$はどのような数になるでしょうか？

　$\log{0}$を$1$を除く任意の正の実数$a$を底にもつ実数$\log_a{0}$のことと仮定します。

対数の定義より$\log_a{b}$は

$$a^x=b$$

を満たす指数$x$のことです。
したがって、$\log_a{0}$は

$$a^x=0$$

を満たす数$x$であるということです。

しかし、指数関数の性質より$a$が$1$を除く正の実数のとき

$$a^x>0$$

は成り立ちますが、$a^x=0$を成り立たせるような$x$は存在しません。

すなわち、実数の範囲で$\log_a{0}$を定義できないということです。

ここで、$0<a<1$のとき

$$\lim_{x\to\infty}a^x=0$$

$a>1$のとき

$$\lim_{x\to-\infty}a^x=0$$

という極限は関係ないのかと思うかもしれませんが、$0<a<1$のときの極限は「限りなく$x$を大きくすると$a^x$は$0$に限りなく近づく」、$a>1$のときの極限は「限りなく$x$を小さくすると$a^x$は$0$に限りなく近づく」ということであり、$\infty$という数が存在し、そのときに$a^x=0$になるという意味ではありません。

　次は$\log_a{0}$を複素数と仮定します。

複素数$z$は極形式で

$$z=r\{\cos\theta+i\sin\theta\}\quad(r,\theta:実数;r>0)$$

と書くことができ、オイラーの公式により

$$z=re^{i\theta}$$

となります。
さらに$r=e^{\ln r}$より

$$z=e^{\ln r}\cdot e^{i\theta}=e^{\ln r+i\theta}$$

と書くことができます。
このことと$e^{\ln r+i\theta}=e^{\ln r+i(\theta+2n\pi)}$（$n:$整数）であることより複素数の対数$\log z$は

$$\log z=\ln r+i(\theta+2n\pi)$$

となります。

$z=0$であるためには$r=0$であることが条件となるので、

$$\log0=\ln0+i(\theta+2n\pi)$$

となります。このとき$\ln0$は実数の範囲の$\log_a{0}$の$a=e$の場合なので上述の通り定義できません。

したがって、実部が$\ln0$である複素数の対数$\log0$も定義できません。

　以上より、実数の範囲でも複素数の範囲でも$\log0$がどんな数かを定義することはできません。

(2024/7)内容を修正しました。

関連：対数の計算法則