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\frac{a}{\sin∠\text{A}}=\frac{b}{\sin∠\text{B}}=\frac{c}{\sin∠\text{C}}=2R
という関係があるという定理です。
なぜこのような式になるのでしょうか？
鋭角三角形の場合
上図のような鋭角三角形\text{ABC}の頂点\text{A}とその対辺\text{BC}に着目します。
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△\text{A'BC}について、∠\text{A}も∠\text{A'}も弧\text{BC}に対する円周角なので、円周角の定理より∠\text{A}=∠\text{A'}となります。
\text{A'C}は直径なので、タレスの定理より∠\text{B}=90°となるから△\text{A'BC}は直角三角形であることがわかります。
直角三角形\text{A'BC}の三角比より
\sin∠\text{A'}=\frac{a}{2R}
また、∠\text{A}=∠\text{A'}より
\begin{align*}\sin∠\text{A}&=\frac{a}{2R}\\[0.5em]\frac{a}{\sin∠\text{A}}&=2R\tag1\end{align*}
となります。
頂点\text{B},\text{C}とそれぞれの対辺\text{AC},\text{AB}に着目した場合も、同様の手順で
\frac{b}{\sin∠\text{B}}=2R,\frac{c}{\sin∠\text{C}}=2R\tag2
を得られるので、(1),(2)から
\frac{a}{\sin∠\text{A}}=\frac{b}{\sin∠\text{B}}=\frac{c}{\sin∠\text{C}}=2R
が成り立つことがわかります。
直角三角形の場合
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このとき、タレスの定理の逆より\text{BC}は円\text{O}の直径となります。
(1)に代入すると\sin90°=1なので左辺は
\begin{align*}(左辺)&=\frac{a}{\sin∠\text{A}}\\[0.5em]&=\frac{2R}{\sin90°}\\[0.5em]&=2R\end{align*}
であるため成り立ちます。
∠\text{B},∠\text{C}は鋭角なので、鋭角三角形と同様の手順で(2)を得ることができ、正弦定理が成り立つことがわかります。
鈍角三角形の場合
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この場合は頂点\text{A}を円周角が一定となるように頂点\text{A}がある方の弧\text{BC}上を動かしても、どの辺も円\text{O}の直径となることはありません。
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すると、タレスの定理より∠\text{DBC}=90°なので、△\text{DBC}は直角三角形です。
直角三角形\text{DBC}の三角比より
\sin∠\text{D}=\frac{a}{2R}
ここで、四角形\text{ABDC}は円に内接する四角形なので、∠\text{A}の対角の∠\text{D}は
∠\text{D}=180°-∠\text{A}
となります。
また、三角関数の性質より
\sin(180°-∠\text{A})=\sin∠\text{A}
なので、
\begin{align*}\sin∠\text{D}=\sin∠\text{A}&=\frac{a}{2R}\\[0.5em]\frac{a}{\sin∠\text{A}}&=2R\end{align*}
となり(1)を得ます。
∠\text{B},∠\text{C}は鋭角であるから鋭角三角形の場合の手順により(2)を得ることができ、正弦定理が成り立つことがわかります。
すべての三角形は内角によって3つに分類することができます。
したがって、すべての三角形について正弦定理が成り立つことがわかります。
したがって、すべての三角形について正弦定理が成り立つことがわかります。
また、証明の過程で1つの内角とその対辺に着目していることから、円周角と弦の長さの関係についての定理であるとも言えます。
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