積和の公式、和積の公式は加法定理の
\begin{align}\sin(α+β)&=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\\[1em]
\sin(α-β)&=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ\\[1em]
\cos(α+β)&=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ\\[1em]
\cos(α-β)&=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\end{align}
を利用して導きます。
積和の公式
$(1),(2)$の辺々を加える・引く、$(3),(4)$の辺々を加える・引くをそれぞれ行うと
\begin{align}\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)&=2\sin\alpha\cos\beta\\[1em]\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)&=2\cos\alpha\sin\beta\\[1em]
\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)&=2\cos\alpha\cos\beta\\[1em]
\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)&=-2\sin\alpha\sin\beta\end{align}
となります。
$(5),(6),(7),(8)$をそれぞれ三角関数の積について解いたもの
\begin{align*}\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\\[1em]\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\\[1em]\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\\[1em]\sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\end{align*}
これらが積和の公式となります。
和積の公式
$\alpha,\beta$について
\begin{align*}\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}&=\alpha\\[1em]\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}&=\beta\end{align*}
が成り立つので、$\alpha+\beta=A,\alpha-\beta=B$とおくと
\[\alpha=\frac{A+B}{2},\beta=\frac{A-B}{2}\]
となります。
したがって、これらをもちいて$(5),(6),(7),(8)$をそれぞれ変形すると
\begin{align*}\sin A+\sin
B&=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\[1em]\sin A-\sin
B&=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\\[1em]\cos A+\cos
B&=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\[1em]\cos A-\cos
B&=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{align*}
となり、これらが和積の公式となります。
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