積和の公式・和積の公式 ~ 数学について考えてみる

2022年11月24日

積和の公式・和積の公式

PLUMBAGO

　積和の公式、和積の公式は加法定理の

\begin{aligned} (1) & \sin (α + β) & = \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ (2) & \sin (α - β) & = \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ (3) & \cos (α + β) & = \cos α \cos β - \sin α \sin β \\ (4) & \cos (α - β) & = \cos α \cos β + \sin α \sin β \end{aligned}

$\begin{align}\sin(α+β)&=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\\[1em] \sin(α-β)&=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ\\[1em] \cos(α+β)&=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ\\[1em] \cos(α-β)&=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\end{align}$

を利用して導きます。

積和の公式

(1), (2)

$(1),(2)$ の辺々を加える・引く、

(3), (4)

$(3),(4)$ の辺々を加える・引くをそれぞれおこなうと

\begin{aligned} (5) & \sin (α + β) + \sin (α - β) & = 2 \sin α \cos β \\ (6) & \sin (α + β) - \sin (α - β) & = 2 \cos α \sin β \\ (7) & \cos (α + β) + \cos (α - β) & = 2 \cos α \cos β \\ (8) & \cos (α + β) - \cos (α - β) & = - 2 \sin α \sin β \end{aligned}

$\begin{align}\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)&=2\sin\alpha\cos\beta\\[1em]\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)&=2\cos\alpha\sin\beta\\[1em] \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)&=2\cos\alpha\cos\beta\\[1em] \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)&=-2\sin\alpha\sin\beta\end{align}$

となります。

(5), (6), (7), (8)

$(5),(6),(7),(8)$ をそれぞれ三角関数の積について解いたもの

\begin{aligned} \sin α \cos β & = \frac{1}{2} {\sin (α + β) + \sin (α - β)} \\ \cos α \sin β & = \frac{1}{2} {\sin (α + β) - \sin (α - β)} \\ \cos α \cos β & = \frac{1}{2} {\cos (α + β) + \cos (α - β)} \\ \sin α \sin β & = - \frac{1}{2} {\cos (α + β) - \cos (α - β)} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\\[1em]\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\\[1em]\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\\[1em]\sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\end{align*}$

これらが積和の公式となります。

和積の公式

α, β

$\alpha,\beta$ について

\begin{aligned} \frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2} & = α \\ \frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2} & = β \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}&=\alpha\\[1em]\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}&=\beta\end{align*}$

が成り立つので、

α + β = A, α - β = B

$\alpha+\beta=A,\alpha-\beta=B$ とおくと

α = \frac{A + B}{2}, β = \frac{A - B}{2}

$\alpha=\frac{A+B}{2},\beta=\frac{A-B}{2}$

となります。

したがって、これらをもちいて

(5), (6), (7), (8)

$(5),(6),(7),(8)$ をそれぞれ変形すると

\begin{aligned} \sin A + \sin B & = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \\ \sin A - \sin B & = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \\ \cos A + \cos B & = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \\ \cos A - \cos B & = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin A+\sin B&=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\[1em]\sin A-\sin B&=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\\[1em]\cos A+\cos B&=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\[1em]\cos A-\cos B&=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{align*}$

となり、これらが和積の公式となります。