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2022年11月13日

2次不等式のように解く不等式

「次の不等式を実数の範囲で解け。

(1)2sin2θ5sinθ+3>0(0θ<2π)2sin2θ5sinθ+3>0(0θ<2π)

(2)22x2x+18022x2x+180

(3)x+2x15>0x+2x15>0
これらの不等式はどのように解けばよいのでしょうか?

 三角関数や指数関数にはとりうる値の範囲があります。その範囲に注意しながら解を求める必要があります。
また、2次不等式の解き方にはグラフから解く方法と因数に着目して解く方法があります。この2通りの解き方でそれぞれ解いてみます。

(1)2sin2θ5sinθ+3>02sin2θ5sinθ+3>0

ただし、0θ<2π0θ<2π
 まずはsinθ=tsinθ=tとおいて、因数分解します。
2t25t+3>02t2+5t3<0(t+3)(2t1)<02t25t+3>02t2+5t3<0(t+3)(2t1)<0

1. グラフから解く方法

2t^2+5t-3<0
 2t2+5t3<02t2+5t3<0よりy=2t2+5t3y=2t2+5t3のグラフを描くと上図のようになります。
不等式はy<0y<0の部分を表すのでその部分のtt、すなわちsinθsinθの範囲は
3<sinθ<123<sinθ<12
となります。ここで、1sinθ11sinθ1という三角関数のとりうる値の範囲があるので、共通範囲は
-1≦sinθ<1/2
1sinθ<121sinθ<12
となります。
このことからθθ0θ<2π0θ<2πより
0≦θ<π/6, 5π/6<θ<2π
0θ<π6,56π<θ<2π0θ<π6,56π<θ<2π
となります。

2. 因数に着目して解く方法

 (t+3)(2t1)<0(t+3)(2t1)<0、すなわち(sinθ+3)(2sinθ1)<0(sinθ+3)(2sinθ1)<0より(sinθ+3)(2sinθ1)(sinθ+3)(2sinθ1)は負の数であることがわかります。
掛けて負になるのは×=,×=×=,×=より
{sinθ+3>02sinθ1<0or{sinθ+3<02sinθ1>0{sinθ+3>02sinθ1<0or{sinθ+3<02sinθ1>0(a)(b)
という条件があることがわかります。
ここで、1sinθ11sinθ1よりsinθ+3sinθ+3は常に正となることがわかるので、(b)(b)sinθ+3<0sinθ+3<0は成り立たず不適となり(a)(a)に絞り込まれます。
(a)(a)
2sinθ1<02sinθ<1sinθ<122sinθ1<02sinθ<1sinθ<12
1sinθ11sinθ1より
1sinθ<121sinθ<12
を解くとθθ0θ<2π0θ<2πより
0θ<π6,56π<θ<2π0θ<π6,56π<θ<2π
となります。
常に正、常に負となるものは、変数に何を代入しても成り立つということなので、範囲を求められません。

(2)22x2x+18022x2x+180

 指数の計算法則より
22x=(2x)22x+1=22x22x=(2x)22x+1=22x
となるので、
(2x)222x80(2x)222x80
と書けます。また、2x=t2x=tとおいて因数分解すると
t22t80(t+2)(t4)0t22t80(t+2)(t4)0
となります。

1.の方法

t^2-2t-8≦0
 y=t22t8y=t22t8のグラフは上図のようになり、不等式はy0y0の部分を表します。
その部分のtt、すなわち2x2xの範囲は
22x422x4
となります。ここで、2x>02x>0という指数関数のとりうる値の範囲があるので、共通範囲は
0<2^x≦4
0<2x40<2x4
となります。
底が11より大きい指数関数は指数が大きくなるに従って大きくなるのでxxの範囲は
(0<)2x22x2(0<)2x22x2
となります。

2.の方法

 (t+2)(t4)0(t+2)(t4)0、すなわち(2x+2)(2x4)0(2x+2)(2x4)0より(2x+2)(2x4)(2x+2)(2x4)00か負の数であることがわかります。
掛けて負になる、または00になる条件は
{2x+2>02x4<0or{2x+2<02x4>0or2x+2=0or2x4=0{2x+2>02x4<0or{2x+2<02x4>0or2x+2=0or2x4=0(c)(d)(e)(f)
となります。

ここで、2x>02x>0より2x+22x+2は常に正となることがわかるので、(d)(d)2x+2<02x+2<0(e)(e)2x+2=02x+2=0は成り立たず不適であるため、(c)(c)(f)(f)に絞り込まれます。

(c)(c)のとき

2x4<0(0<)2x<42x<22x<22x4<0(0<)2x<42x<22x<2

(f)(f)のとき

2x=42x=22x=22x=42x=22x=2

解は(c)(c)または(f)(f)、すなわちx<2x<2またはx=2x=2なので組み合わせてx2x2となります。

(3)x+2x15>0x+2x15>0

 x=(x)2x=(x)2なので、
(x)2+2x15>0(x)2+2x15>0
x=tx=tとおいて因数分解すると
t2+2t15>0(t+5)(t3)>0t2+2t15>0(t+5)(t3)>0
となります。

1.の方法

t^2+2t-15>0
 y=t2+2t15y=t2+2t15のグラフは上図のようになり、不等式はy>0y>0の部分を表します。
その部分のtt、すなわちxxの範囲は
x<5,3<xx<5,3<x
となります。ここで、x0x0という正の平方根のとりうる値の範囲があるので、共通範囲は
√x>3
x>3x>3
となります。
両辺が00以上であれば両辺を2乗しても大小関係は変わらないのでxxの範囲は
x>9x>9
となります。

2.の方法

 (t+5)(t3)>0(t+5)(t3)>0、すなわち(x+5)(x3)>0(x+5)(x3)>0より(x+5)(x3)(x+5)(x3)は正の数となります。
掛けて正になる条件は×=,×=×=,×=より
{x+5>0x3>0or{x+5<0x3<0x+5>0x3>0orx+5<0x3<0(g)(h)
となります。

ここで、x0x0よりx+5x+5は常に正となることがわかるので、(h)(h)x+5<0x+5<0は成り立たず不適となり(g)(g)に絞り込まれます。

(g)(g)
x3>0x>3x3>0x>3
と両辺が00以上であれば両辺を2乗しても大小関係は変わらないことからxxの範囲は
x>9x>9
となります。

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