正六角形の1辺の長さや対角線の長さから面積を求める公式をつくってみる

　正六角形の面積を1辺の長さや対角線の長さから求める公式はどのようなものでしょうか？

正六角形の対角線には、長いほうの対角線と短いほうの対角線の2種類があります。

正六角形の1辺の長さから面積を求める公式

　正六角形の1辺の長さが$a$のとき、その面積はどのように表されるでしょうか？
正六角形の各頂点から長いほうの対角線を引くと6個の合同な正三角形ができます。それぞれの正三角形の1辺の長さは$a$です。

正三角形の1つの頂点から対辺へ垂線を下ろすと$30°-60°-90°$の直角三角形ができ、この直角三角形の3辺の比より高さが$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$であることがわかります。

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したがって、1辺の長さが$a$の正三角形の面積は$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$なので、1辺の長さが$a$の正六角形の面積は正三角形の面積の6倍の

$$\large\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$

となります。

正六角形の長いほうの対角線から面積を求める公式

　正六角形の長いほうの対角線の長さが$b$のとき、その面積はどのように表されるでしょうか？
前述の通り、正六角形の各頂点から長いほうの対角線を引くと6個の合同な正三角形ができます。
長いほうの対角線の長さは正三角形の1辺の長さの2倍であり、正三角形の1辺の長さは正六角形の1辺の長さに等しいので、正六角形の1辺の長さは$\dfrac{b}{2}$となります。

したがって、長いほうの対角線の長さが$b$の正六角形の面積は、1辺の長さが$a$の正六角形の面積$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$に$a=\dfrac{b}{2}$を代入した

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{b}{2}\right)^2=\large\frac{3\sqrt{3}}{8}b^2$$

となります。

正六角形の短いほうの対角線から面積を求める公式

　正六角形の短いほうの対角線の長さが$c$のとき、その面積はどのように表されるでしょうか？
正六角形の各頂点から長いほうの対角線を引いた後、1つの頂点から短いほうの対角線を1本引いてみると、短いほうの対角線は分割してできた正三角形の高さの2倍の長さをもつことがわかります。すなわち、正三角形の高さは$\dfrac{c}{2}$です。

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すると、正三角形の1辺の長さは$30°-60°-90°$の直角三角形の3辺の比より$\dfrac{\sqrt{3}}{3}c$です。

したがって、短いほうの対角線の長さが$c$の正六角形の面積は、1辺の長さが$a$の正六角形の面積$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$に$a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}c=\dfrac{c}{\sqrt{3}}$を代入した

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{c}{\sqrt{3}}\right)^2=\large\frac{\sqrt{3}}{2}c^2$$

となります。

　1辺の長さが$a$の正六角形の長いほうの対角線を$b$、短いほうの対角線を$c$としたときの$a,b,c$の関係と正六角形の面積$S$を$a,b,c$それぞれで表した式は上図のようになります。

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