垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは？ ~ 数学について考えてみる

「上図のように

∠ A = 60 °

$∠\text{A}=60°$ である

$△\text{ABC}$ の頂点

$\text{A}$ から辺

$\text{BC}$ へ垂線

$\text{AH}$ をおろしたとき、

$\text{AH}=6,\text{BH}=3$ となった。このときの

$\text{BH}$ の長さを求めよ。」

　この問題は、

$△\text{ABC}$ を2つの直角三角形

$△\text{ABH},△\text{ACH}$ に分けて考えて解きます。

2通りの方法で解いてみます。

1. 面積を利用

　まずは三平方の定理を利用して辺

$\text{AB, AC}$ の長さをそれぞれ求めます。

$△\text{ABH}$ に着目して、三平方の定理より

$\text{AB}^2=\text{AH}^2+\text{BH}^2$

が成り立ちます。

$\text{AH}=6,\text{BH}=3$ を代入して

$\text{AB}$ を求めると

$\begin{align*}\text{AB}^2&=6^2+3^2\\[0.5em]&=36+9\\[0.5em]&=45\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{45}&(\because \text{AB}>0)\\[0.5em]&=3\sqrt{5}\end{align*}$

となります。

同様に、

$△\text{ACH}$ に着目して、三平方の定理と

$\text{CH}=x$ より

$\begin{align*}\text{AC}^2&=\text{AH}^2+\text{CH}^2\\[0.5em]&=6^2+x^2\\[0.5em]&=36+x^2\\[0.5em]\text{AC}&=\sqrt{36+x^2}&(\because \text{AC}>0)\end{align*}$

と求められます。

2辺

$\text{AB, AC}$ の長さとその間の角

$∠\text{A}$ がわかったので

$△\text{ABC}$ の面積は

$\begin{align*}△\text{ABC}&=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot \text{AC}\sin∠ \text{A}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{5}\cdot\sqrt{36+x^2}\sin60°\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{5}\cdot\sqrt{36+x^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\[0.5em]&=\frac{3\sqrt{540+15x^2}}{4}\tag1\end{align*}$

となります。

また、辺

$\text{BC}$ を底辺とすれば辺

$\text{BC}$ と垂線

$\text{AH}$ の長さで

$△\text{ABC}$ の面積を求めることができます。
辺

$\text{BC}$ の長さは

$\text{BH}=3,\text{CH}=x,\text{BC}=\text{BH}+\text{CH}$ より

$\text{BC}=3+x$ なので

$\begin{align*}△\text{ABC}&=\frac{1}{2}\text{BC}\cdot \text{AH}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(3+x)\cdot6\\[0.5em]&=9+3x\tag2\end{align*}$

となります。

$(1),(2)$ はともに

$△\text{ABC}$ の面積なので

$\frac{3\sqrt{540+15x^2}}{4}=9+3x$

これを解きます。

両辺を

$\dfrac{4}{3}$ 倍して

$\sqrt{540+15x^2}=4(3+x)$

両辺を2乗して

$\begin{align*}540+15x^2&=16(3+x)^2\\[0.5em]&=144+96x+16x^2\end{align*}$

整理すると

$x^2+96x-396=0$

2次方程式の解の公式（係数

$b$ が偶数の場合）より

$\begin{align*}x&=-48\pm\sqrt{48^2-(-396)}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{48^2+396}\tag{*}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{(6\cdot8)^2+36\cdot11}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{6^2\cdot8^2+6^2\cdot11}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{6^2(8^2+11)}\\[0.5em]&=-48\pm6\sqrt{8^2+11}\\[0.5em]&=-48\pm6\sqrt{75}\\[0.5em]&=-48\pm6\cdot5\sqrt{3}\\[0.5em]&=-48\pm30\sqrt{3}\end{align*}$

$x$ は線分

$\text{BH}$ の長さなので

$x>0$ 、

$(*)$ より

$48=\sqrt{48^2}<\sqrt{48^2+396}=30\sqrt{3}$ なので

$-48+30\sqrt{3}>0$ 、明らかに

$-48-30\sqrt{3}<0$ であることから

$x=-48+30\sqrt{3}$

すなわち、

$\mathbf{\text{BH}=-48+30\sqrt{3}}$ であることがわかります。

2. 加法定理を利用

$\tan$ の加法定理を利用します。

$△\text{ABH}$ に着目し、

$∠\text{BAH}=α$ とおくと

$\begin{align*}\tan\alpha&=\frac{\text{BH}}{\text{AH}}\\[0.5em]&=\frac{3}{6}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\tag3\end{align*}$

となります。

また、

$△\text{ACH}$ に着目し、

$∠\text{CAH}=β$ とおくと

$\begin{align*}\tan\beta&=\frac{\text{CH}}{\text{AH}}\\[0.5em]&=\frac{x}{6}\tag4\end{align*}$

となります。

ここで、

$∠\text{BAC}=∠\text{BAH}+∠\text{CAH}$ より

$60°=α+β$ なので

$\tan60°=\tan(\alpha+\beta)$

であり、

$\tan$ の加法定理より

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

なので、

$\tan60°=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

となります。

$(3),(4)$ を代入して

$x$ について解くと

$\begin{align*}\tan60°&=\frac{\cfrac{1}{2}+\cfrac{x}{6}}{1-\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{6}}\\[0.5em]\sqrt{3}&=\frac{\cfrac{3+x}{6}}{\cfrac{12-x}{12}}\\[0.5em]&=\frac{2(3+x)}{12-x}\\[0.5em](12-x)\sqrt{3}&=2(3+x)\\[0.5em]12\sqrt{3}-\sqrt{3}x&=6+2x\\[0.5em](2+\sqrt{3})x&=12\sqrt{3}-6\\[0.5em]&=6(2\sqrt{3}-1)\\[0.5em]x&=\frac{6(2\sqrt{3}-1)}{2+\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\frac{6(2\sqrt{3}-1)}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\frac{6(2\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\[0.5em]&=\frac{6(5\sqrt{3}-8)}{4-3}\\[0.5em]&=6(5\sqrt{3}-8)\\[0.5em]&=30\sqrt{3}-48\end{align*}$

となります。

すなわち、

$\mathbf{\text{BH}=30\sqrt{3}-48}$ であることがわかります。

なお、