垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは？

「上図のように$∠\text{A}=60°$である$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}$から辺$\text{BC}$へ垂線$\text{AH}$をおろしたとき、$\text{AH}=6,\text{BH}=3$となった。このときの$\text{BH}$の長さを求めよ。」

　この問題は、$△\text{ABC}$を2つの直角三角形$△\text{ABH},△\text{ACH}$に分けて考えて解きます。

2通りの方法で解いてみます。

1. 面積を利用

　まずは三平方の定理を利用して辺$\text{AB, AC}$の長さをそれぞれ求めます。

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

$△\text{ABH}$に着目して、三平方の定理より

$$\text{AB}^2=\text{AH}^2+\text{BH}^2$$

が成り立ちます。
$\text{AH}=6,\text{BH}=3$を代入して$\text{AB}$を求めると

$$\begin{align*}\text{AB}^2&=6^2+3^2\\[0.5em]&=36+9\\[0.5em]&=45\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{45}&(\because \text{AB}>0)\\[0.5em]&=3\sqrt{5}\end{align*}$$

となります。

同様に、$△\text{ACH}$に着目して、三平方の定理と$\text{CH}=x$より

$$\begin{align*}\text{AC}^2&=\text{AH}^2+\text{CH}^2\\[0.5em]&=6^2+x^2\\[0.5em]&=36+x^2\\[0.5em]\text{AC}&=\sqrt{36+x^2}&(\because \text{AC}>0)\end{align*}$$

と求められます。

2辺$\text{AB, AC}$の長さとその間の角$∠\text{A}$がわかったので$△\text{ABC}$の面積は

$$\begin{align*}△\text{ABC}&=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot \text{AC}\sin∠ \text{A}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{5}\cdot\sqrt{36+x^2}\sin60°\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{5}\cdot\sqrt{36+x^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\[0.5em]&=\frac{3\sqrt{540+15x^2}}{4}\tag1\end{align*}$$

となります。

関連：なぜ$\sin$を使って三角形の面積を求めることができるのか？

また、辺$\text{BC}$を底辺とすれば辺$\text{BC}$と垂線$\text{AH}$の長さで$△\text{ABC}$の面積を求めることができます。
辺$\text{BC}$の長さは$\text{BH}=3,\text{CH}=x,\text{BC}=\text{BH}+\text{CH}$より$\text{BC}=3+x$なので

$$\begin{align*}△\text{ABC}&=\frac{1}{2}\text{BC}\cdot \text{AH}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(3+x)\cdot6\\[0.5em]&=9+3x\tag2\end{align*}$$

となります。

$(1),(2)$はともに$△\text{ABC}$の面積なので

$$\frac{3\sqrt{540+15x^2}}{4}=9+3x$$

これを解きます。

両辺を$\dfrac{4}{3}$倍して

$$\sqrt{540+15x^2}=4(3+x)$$

両辺を2乗して

$$\begin{align*}540+15x^2&=16(3+x)^2\\[0.5em]&=144+96x+16x^2\end{align*}$$

整理すると

$$x^2+96x-396=0$$

2次方程式の解の公式（係数$b$が偶数の場合）より

$$\begin{align*}x&=-48\pm\sqrt{48^2-(-396)}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{48^2+396}\tag{*}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{(6\cdot8)^2+36\cdot11}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{6^2\cdot8^2+6^2\cdot11}\\[0.5em]&=-48\pm\sqrt{6^2(8^2+11)}\\[0.5em]&=-48\pm6\sqrt{8^2+11}\\[0.5em]&=-48\pm6\sqrt{75}\\[0.5em]&=-48\pm6\cdot5\sqrt{3}\\[0.5em]&=-48\pm30\sqrt{3}\end{align*}$$

関連：2次方程式の解の公式と判別式

$x$は線分$\text{BH}$の長さなので$x>0$、$(*)$より$48=\sqrt{48^2}<\sqrt{48^2+396}=30\sqrt{3}$なので$-48+30\sqrt{3}>0$、明らかに$-48-30\sqrt{3}<0$であることから

$$x=-48+30\sqrt{3}$$

すなわち、$\mathbf{\text{BH}=-48+30\sqrt{3}}$であることがわかります。

2. 加法定理を利用

　$\tan$の加法定理を利用します。

$△\text{ABH}$に着目し、$∠\text{BAH}=α$とおくと

$$\begin{align*}\tan\alpha&=\frac{\text{BH}}{\text{AH}}\\[0.5em]&=\frac{3}{6}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\tag3\end{align*}$$

となります。

また、$△\text{ACH}$に着目し、$∠\text{CAH}=β$とおくと

$$\begin{align*}\tan\beta&=\frac{\text{CH}}{\text{AH}}\\[0.5em]&=\frac{x}{6}\tag4\end{align*}$$

となります。

ここで、$∠\text{BAC}=∠\text{BAH}+∠\text{CAH}$より$60°=α+β$なので

$$\tan60°=\tan(\alpha+\beta)$$

であり、$\tan$の加法定理より

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

関連：三角関数の加法定理

なので、

$$\tan60°=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

となります。

$(3),(4)$を代入して$x$について解くと

$$\begin{align*}\tan60°&=\frac{\cfrac{1}{2}+\cfrac{x}{6}}{1-\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{6}}\\[0.5em]\sqrt{3}&=\frac{\cfrac{3+x}{6}}{\cfrac{12-x}{12}}\\[0.5em]&=\frac{2(3+x)}{12-x}\\[0.5em](12-x)\sqrt{3}&=2(3+x)\\[0.5em]12\sqrt{3}-\sqrt{3}x&=6+2x\\[0.5em](2+\sqrt{3})x&=12\sqrt{3}-6\\[0.5em]&=6(2\sqrt{3}-1)\\[0.5em]x&=\frac{6(2\sqrt{3}-1)}{2+\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\frac{6(2\sqrt{3}-1)}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\frac{6(2\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\[0.5em]&=\frac{6(5\sqrt{3}-8)}{4-3}\\[0.5em]&=6(5\sqrt{3}-8)\\[0.5em]&=30\sqrt{3}-48\end{align*}$$

となります。

すなわち、$\mathbf{\text{BH}=30\sqrt{3}-48}$であることがわかります。

なお、$-48+30\sqrt{3}=30\sqrt{3}-48$なので、どちらの方法でも得られる線分$\text{BH}$の長さは同じです。