三平方の定理（ピタゴラスの定理） ~ 数学について考えてみる

2022年3月30日

三平方の定理（ピタゴラスの定理）

PLUMBAGO

　三平方の定理は幾何学の有名な定理で直角三角形の3辺の長さの関係を表しています。

直角三角形ABC

∠ C = 90 °

$∠\text{C}=90°$ である直角三角形

ABC

$\text{ABC}$ の3辺の長さを

BC = a, AC = b, AB = c

$\text{BC}=a, \text{AC}=b, \text{AB}=c$ とすると3辺の長さの関係は

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$\large a^2+b^2=c^2$

という式で表されます。

これを証明する方法は様々ありますが、一番簡単な方法は合同な直角三角形を4つ使って正方形を作る方法だと思います。

その1

合同な直角三角形を4つ組み合わせて正方形をつくる

　上図のように合同な直角三角形

ABC

$\text{ABC}$ を4つを使って斜辺以外の2辺の長さの和を1辺の長さとする正方形をつくります。

　正方形の面積を求めると1辺の長さは

a + b

$a+b$ なので、

\begin{matrix} (1) & (a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\end{equation}$

となります。

正方形の中の小さい正方形

　今度は正方形内の図形の面積を1つずつ求めてみると、直角三角形の面積は

\frac{1}{2} a b

$\dfrac{1}{2}ab$ 、正方形の中の小さな正方形は直角三角形の斜辺を1辺とするので面積は

c^{2}

$c^2$ となります。

したがって、直角三角形4つと小さい正方形1つでできている大きい正方形の面積は

\begin{matrix} (2) & 4 \times \frac{1}{2} a b + c^{2} = 2 a b + c^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}4×\frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2\end{equation}$

です。

　 $(1), (2)$ は同じ正方形の面積を求めたものなので、
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
両辺から4つの直角三角形の面積 $2ab$ を差し引けば
$a^2+b^2=c^2$
となり、三平方の定理が成り立つことがわかります。

その2

合同な直角三角形4つを組み合わせて正方形をつくる2

　次は4つの合同な直角三角形を上図のように組み合わせて斜辺の長さを1辺の長さとする正方形をつくります。

正方形の面積を求めると1辺の長さは

c

$c$ なので

\begin{matrix} (3) & c^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}c^2\end{equation}$

となります。

正方形の中の小さい正方形

　今度は正方形内の図形の面積を1つずつ求めてみると、直角三角形の面積は

\frac{1}{2} a b

$\dfrac{1}{2}ab$ 、正方形の中の小さな正方形の面積は1辺の長さが

a - b

$a-b$ となるので

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

したがって、直角三角形4つと小さい正方形1つでできている大きい正方形の面積は

\begin{matrix} (4) & 4 \times \frac{1}{2} a b + (a^{2} - 2 a b + b^{2}) = a^{2} + b^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}4×\frac{1}{2}ab+(a^2-2ab+b^2)=a^2+b^2\end{equation}$

(3), (4)

$(3), (4)$ は同じ正方形の面積を求めたものなので、

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$a^2+b^2=c^2$

となり、三平方の定理が成り立つことがわかります。

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