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2022年3月30日

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

 三平方の定理は幾何学の有名な定理で直角三角形の3辺の長さの関係を表しています。

直角三角形ABC
∠\text{C}=90°である直角三角形\text{ABC}の3辺の長さを\text{BC}=a, \text{AC}=b, \text{AB}=cとすると3辺の長さの関係は
\large a^2+b^2=c^2
という式で表されます。

これを証明する方法は様々ありますが、一番簡単な方法は合同な直角三角形を4つ使って正方形を作る方法だと思います。


その1

合同な直角三角形を4つ組み合わせて正方形をつくる
 上図のように合同な直角三角形\text{ABC}を4つを使って斜辺以外の2辺の長さの和を1辺の長さとする正方形をつくります。
 正方形の面積を求めると1辺の長さはa+bなので、
\begin{equation}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\end{equation}
となります。
正方形の中の小さい正方形
 今度は正方形内の図形の面積を1つずつ求めてみると、直角三角形の面積は\dfrac{1}{2}ab、正方形の中の小さな正方形は直角三角形の斜辺を1辺とするので面積はc^2となります。
したがって、直角三角形4つと小さい正方形1つでできている大きい正方形の面積は
\begin{equation}4×\frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2\end{equation}
です。

 (1), (2)は同じ正方形の面積を求めたものなので、
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2


両辺から4つの直角三角形の面積2abを差し引けば
a^2+b^2=c^2

となり、三平方の定理が成り立つことがわかります。


その2

合同な直角三角形4つを組み合わせて正方形をつくる2
 次は4つの合同な直角三角形を上図のように組み合わせて斜辺の長さを1辺の長さとする正方形をつくります。
正方形の面積を求めると1辺の長さはcなので
\begin{equation}c^2\end{equation}
となります。
正方形の中の小さい正方形
 今度は正方形内の図形の面積を1つずつ求めてみると、直角三角形の面積は\dfrac{1}{2}ab、正方形の中の小さな正方形の面積は1辺の長さがa-bとなるので
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
したがって、直角三角形4つと小さい正方形1つでできている大きい正方形の面積は
\begin{equation}4×\frac{1}{2}ab+(a^2-2ab+b^2)=a^2+b^2\end{equation}
(3), (4)は同じ正方形の面積を求めたものなので、
a^2+b^2=c^2
となり、三平方の定理が成り立つことがわかります。

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