三平方の定理（ピタゴラスの定理） ~ 数学について考えてみる

2022年3月30日

PLUMBAGO

　三平方の定理は幾何学の有名な定理で直角三角形の3辺の長さの関係を表しています。

$∠C=90°$である直角三角形$ABC$の3辺の長さを$BC=a,AC=b,AB=c$とすると3辺の長さの関係は

\[\large a^2+b^2=c^2\]

という式で表されます。

これを証明する方法は様々ありますが、一番簡単な方法は合同な直角三角形を4つ使って正方形を作る方法だと思います。

その1

　上図のように合同な直角三角形$ABC$を4つを使って斜辺以外の2辺の長さの和を1辺の長さとする正方形をつくります。

　正方形の面積を求めると1辺の長さは$a+b$なので、

\begin{equation}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\end{equation}

となります。

　今度は正方形内の図形の面積を1つずつ求めてみると、直角三角形の面積は$\dfrac{1}{2}ab$、正方形の中の小さな正方形は直角三角形の斜辺を1辺とするので面積は$c^2$となります。

したがって、直角三角形4つと小さい正方形1つでできている大きい正方形の面積は

\begin{equation}4×\frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2\end{equation}

です。

　$(1),(2)$は同じ正方形の面積を求めたものなので、
\[a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\]
両辺から4つの直角三角形の面積$2ab$を差し引けば
\[a^2+b^2=c^2\]
となり、三平方の定理が成り立つことがわかります。

　次は4つの合同な直角三角形を上図のように組み合わせて斜辺の長さを1辺の長さとする正方形をつくります。

正方形の面積を求めると1辺の長さは$c$なので

\begin{equation}c^2\end{equation}

となります。

　今度は正方形内の図形の面積を1つずつ求めてみると、直角三角形の面積は$\dfrac{1}{2}ab$、正方形の中の小さな正方形の面積は1辺の長さが$a-b$となるので

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

したがって、直角三角形4つと小さい正方形1つでできている大きい正方形の面積は

\begin{equation}4×\frac{1}{2}ab+(a^2-2ab+b^2)=a^2+b^2\end{equation}

$(3),(4)$は同じ正方形の面積を求めたものなので、

\[a^2+b^2=c^2\]

となり、三平方の定理が成り立つことがわかります。