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2022年3月26日

平行四辺形の中の三角形の内角の大きさは?

AB:AD=2:1である平行四辺形ABCDの∠AMBは?
AB:AD=2:1である平行四辺形ABCDがある。辺CDの中点Mから頂点A, Bに線を引いたときAMBの大きさを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


 平行四辺形ABCDの内角ADCBCDに着目します。
∠ADCと∠BCD
CDを延長してできるADCの外角はAD//BCで同位角は等しいことからBCDと等しくなります。
外角と内角の和は180°になるので
(1)ADC+BCD=180°
となります。
△DAMと△CMB
 AB:AD=2:1であることとAB=CDであること点Mは辺CDの中点であることから
AD=DM=BC=CM
となります。
するとDAMDA=DMである二等辺三角形、CMBCB=CMである二等辺三角形であることがわかります。
DAM=DMA=αCBM=CMB=β
とすると、三角形の内角の和は180°であることからDAMCMBの内角の和は
(2)ADM+2α+BCM+2β=360°
(1)より(2)の左辺は
(ADM+BCM)+2α+2β=180°+2(α+β)
となるから
180°+2(α+β)=360°2(α+β)=180°(3)α+β=90°

α+β+AMB=180°
であるから(3)より
90°+AMB=180°AMB=90°
となることがわかります。

∠BECは直角
 平行四辺形でなくても上図のように二等辺三角形ABEDCEの1つの頂点\text{E}が共通でその頂点と等辺の他の頂点A, Dが同一直線上にあってAB//CDであるとき、2つの二等辺三角形によってできる角BECは直角になります。
これは上と同様の方法で確かめることができます。

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