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2022年3月26日

平行四辺形の中の三角形の内角の大きさは?

AB:AD=2:1である平行四辺形ABCDの∠AMBは?
\text{AB}:\text{AD}=2:1である平行四辺形\text{ABCD}がある。辺\text{CD}の中点\text{M}から頂点\text{A, B}に線を引いたとき∠\text{AMB}の大きさを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


 平行四辺形\text{ABCD}の内角∠\text{ADC}∠\text{BCD}に着目します。
∠ADCと∠BCD
\text{CD}を延長してできる∠\text{ADC}の外角は\text{AD}//\text{BC}で同位角は等しいことから∠\text{BCD}と等しくなります。
外角と内角の和は180°になるので
\begin{equation}∠\text{ADC}+∠\text{BCD}=180°\end{equation}
となります。
△DAMと△CMB
 \text{AB}:\text{AD}=2:1であることと\text{AB}=\text{CD}であること点\text{M}は辺\text{CD}の中点であることから
\text{AD}=\text{DM}=\text{BC}=\text{CM}
となります。
すると△\text{DAM}\text{DA}=\text{DM}である二等辺三角形、△\text{CMB}\text{CB}=\text{CM}である二等辺三角形であることがわかります。
\begin{align*}∠\text{DAM}&=∠\text{DMA}=\alpha\\[0.5em]∠\text{CBM}&=∠\text{CMB}=\beta\end{align*}
とすると、三角形の内角の和は180°であることから△\text{DAM}△\text{CMB}の内角の和は
\begin{equation}∠\text{ADM}+2\alpha+∠\text{BCM}+2\beta=360°\end{equation}

(1)より(2)の左辺は
(∠\text{ADM}+∠\text{BCM})+2\alpha+2\beta=180°+2(\alpha+\beta)
となるから
\begin{align*}180°+2(\alpha+\beta)&=360°\\[0.5em]2(\alpha+\beta)&=180°\\[0.5em]\alpha+\beta&=90°\tag3\end{align*}

\alpha+\beta+∠\text{AMB}=180°
であるから(3)より
\begin{align*}90°+∠\text{AMB}&=180°\\[0.5em]∠\text{AMB}&=90°\end{align*}
となることがわかります。

∠BECは直角
 平行四辺形でなくても上図のように二等辺三角形\text{ABE}\text{DCE}の1つの頂点\text{E}が共通でその頂点と等辺の他の頂点\text{A, D}が同一直線上にあって\text{AB}//\text{CD}であるとき、2つの二等辺三角形によってできる角∠\text{BEC}は直角になります。
これは上と同様の方法で確かめることができます。

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