「
AB:AD=2:1である平行四辺形
ABCDがある。辺
CDの中点
Mから頂点
A, Bに線を引いたとき
∠AMBの大きさを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか?
平行四辺形
ABCDの内角
∠ADCと
∠BCDに着目します。
辺
CDを延長してできる
∠ADCの外角は
AD//BCで同位角は等しいことから
∠BCDと等しくなります。
外角と内角の和は
180°になるので
∠ADC+∠BCD=180°(1)
となります。
AB:AD=2:1であることと
AB=CDであること点
Mは辺
CDの中点であることから
AD=DM=BC=CM
となります。
すると
△DAMは
DA=DMである二等辺三角形、
△CMBは
CB=CMである二等辺三角形であることがわかります。
∠DAM=∠DMA=α∠CBM=∠CMB=β
とすると、三角形の内角の和は
180°であることから
△DAMと
△CMBの内角の和は
∠ADM+2α+∠BCM+2β=360°(2)
(1)より(2)の左辺は
(∠ADM+∠BCM)+2α+2β=180°+2(α+β)
となるから
180°+2(α+β)=360°2(α+β)=180°α+β=90°(3)
α+β+∠AMB=180°
であるから
(3)より
90°+∠AMB=180°∠AMB=90°
となることがわかります。
平行四辺形でなくても上図のように二等辺三角形
ABEと
DCEの1つの頂点\text{E}が共通でその頂点と等辺の他の頂点
A, Dが同一直線上にあって
AB//CDであるとき、2つの二等辺三角形によってできる角
∠BECは直角になります。
これは上と同様の方法で確かめることができます。