割り算を割り算以外の計算式で表すと？

　割り算は最初

$$7÷3=2\ あまり1$$

や

$$9÷6=1\cdots3$$

のような書き方で習いますが、「あまり」や「…」は厳密には数式にもちいられる記号ではないので1つの式で表されているのとは少し違います。

では、割り算を1つの式で表すとどうなるのか？また、割り算を表す式

$$a=bn+r$$

との関連を考えてみます。

　割り算を1つの式で表すには、割り算は分数で表せることを利用します。

$a÷b$という計算の場合は

$$a÷b=\frac{a}{b}$$

のように左辺を割り算、右辺を分数で書きます。

この割り算で商が$n$、余りが$r$になったとすると

$$\begin{align*}a÷b&=\frac{nb+r}{b}\\ \\ &=n+\frac{r}{b}&...(a)\end{align*}$$

となります。

例として$17÷3$で考えれば
$$\begin{align*}17÷3&=\frac{17}{3}\\ \\ &=\frac{15+2}{3}\\ \\ &=5+\frac{2}{3}\end{align*}$$
となるので理解しやすくなると思います。

右辺の分数の項は割り切れずに残った項であるため、余りを表したものであることがわかります。分母が割る数、分子が余りです。

したがって、割り算を演算子を使って1つの式で表すと(a)のようになります。

　次は、

$$a=bn+r$$

について考えます。

これは(a)の式を変形することで導くことができます。両辺に$b$を掛けると

$$\begin{align*}a÷b×b&=\left(n+\frac{r}{b}\right)×b\\ \\ a&=nb+r\end{align*}$$

となるので、この式もまた割り算を表した式であることがわかります。

$a,b,n,r$をそれぞれ$f(x),g(x),h(x),r(x)$に置き換えると
$$f(x)=g(x)h(x)+r(x)$$
となり、多項式にも応用できます。この式は多項式の割り算や剰余の定理で見る式となります。