チェバの定理とは？ ~ 数学について考えてみる

　チェバの定理とは、

チェバの定理　点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の内部にある場合

チェバの定理　点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の外部にある場合

$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}, \text{B}, \text{C}$と、辺またはその延長上にない点$\text{O}$を通る直線を引き、辺$\text{BC}, \text{CA}, \text{AB}$またはその延長との交点をそれぞれ$\text{P}, \text{Q}, \text{R}$とする。

このとき、

\[\large\frac{\text{BP}}{\text{PC}}\cdot\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}\cdot\frac{\text{AR}}{\text{RB}}=1\]

が成り立つ。

という定理のことです。

$\dfrac{\text{BP}}{\text{PC}}, \dfrac{\text{CQ}}{\text{QA}}, \dfrac{\text{AR}}{\text{RB}}$はそれぞれ辺$\text{BC}, \text{CA}, \text{AB}$を内分または外分したときの線分比、すなわち内分比または外分比で、比の値という形で表されています。

なぜこれが成り立つのかを確かめてみます。

　$△\text{OAB}, △\text{OBC}, △\text{OCA}$の面積を利用してチェバの定理が成り立つことを確かめます。

点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の内部にある場合

点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の外部にある場合

　まず、$△\text{OAB}$と$△\text{OCA}$に着目します。
これらの三角形に共通する辺$\text{AO}$を底辺とすると、底辺の長さが等しいので、面積比は高さの比に等しいことがわかります。

点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の内部にある場合

点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の外部にある場合

ここで、点$\text{B}, \text{C}$から直線$\text{AO}$へおろした垂線の足をそれぞれ$\text{S}, \text{T}$とし、2つの直角三角形$△\text{BPS}$と$△\text{CPT}$に着目すると、

$∠\text{BPS}$と$∠\text{CPT}$は対頂角または共通する角なので$∠\text{BPS}=∠\text{CPT}$

（点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の外部にあるとき、$∠\text{BPS}$と$∠\text{CPT}$は共通する角になることがあります。）

1組の鋭角が等しいので、相似であることがわかります。
このことから、相似比より$\text{BS}:\text{CT}=\text{BP}:\text{PC}$です。

点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の内部にある場合

点$\text{O}$が$△\text{ABC}$の外部にある場合

線分$\text{BS}, \text{CT}$の長さはそれぞれ$△\text{OAB}, △\text{OCA}$の高さなので、これらの面積比について

\[\triangle \text{OAB}:\triangle \text{OCA}=\text{BP}:\text{PC}\]

が成り立つことがわかります。
なお、直線$\text{AO}$と辺$\text{BC}$が互いに垂直なときは、直ちに$△\text{OAB}$と$△\text{OCA}$の面積比が$\text{BP}:\text{PC}$であることがわかります。

これを変形すると

\begin{align*}\text{PC}\cdot\triangle \text{OAB}&=\text{BP}\cdot\triangle \text{OCA}\\[0.5em]\frac{\triangle \text{OAB}}{\triangle \text{OCA}}&=\frac{\text{BP}}{\text{PC}}\tag1\end{align*}

となります。

　同様の方法によって、$△\text{OBC}$と$△\text{OAB}$の面積比、$△\text{OCA}$と$△\text{OBC}$の面積比より

\begin{align*}\frac{\triangle \text{OBC}}{\triangle \text{OAB}}&=\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}\tag2\\[1em]\frac{\triangle \text{OCA}}{\triangle \text{OBC}}&=\frac{\text{AR}}{\text{RB}}\tag3\end{align*}

が得られます。

$(1), (2), (3)$の辺々を掛け合わせると

\begin{align*}\frac{\triangle \text{OAB}}{\triangle \text{OCA}}\cdot\frac{\triangle \text{OBC}}{\triangle \text{OAB}}\cdot\frac{\triangle \text{OCA}}{\triangle \text{OBC}}&=\frac{\text{BP}}{\text{PC}}\cdot\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}\cdot\frac{\text{AR}}{\text{RB}}\\[0.5em]1&=\frac{\text{BP}}{\text{PC}}\cdot\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}\cdot\frac{\text{AR}}{\text{RB}}\\[0.5em]\large\therefore \frac{\text{BP}}{\text{PC}}\cdot\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}\cdot\frac{\text{AR}}{\text{RB}}&\large=1\end{align*}

となり、チェバの定理が成り立つことがわかります。

チェバの定理が成り立たないとき

　点$\text{O}$は$△\text{ABC}$の辺またはその延長上にないことが条件となっています。
これは、線分の長さが$0$になるものが現れることで比の一部が定義できなくなり、チェバの定理が成り立たなくなるからです。

点$\text{O}$が辺$\text{BC}$上にある場合

点$\text{O}$が辺$\text{BC}$の延長上にある場合

例えば、$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$またはその延長上に点$\text{O}$がある場合、点$\text{P}$は点$\text{O}$と一致し、点$\text{Q}, \text{R}$はそれぞれ頂点$\text{C}, \text{B}$と一致します。
すると、線分$\text{CQ}, \text{RB}$の長さが$0$となります。

特に、線分$\text{RB}$の長さが$0$になったことによって、$\dfrac{\text{AR}}{\text{RB}}$の値が定義できないため、チェバの定理が成り立たなくなります。

　また、頂点と点$\text{O}$を通る直線と対辺またはその延長との交点、すなわち点$\text{P}, \text{Q}, \text{R}$が必ず存在することもチェバの定理が成り立つための条件となります。

点$\text{O}$が三角形の内部にあるときは、頂点と点$\text{O}$を通る直線は必ず対辺と交わるため、点$\text{P}, \text{Q}, \text{R}$は必ず存在します。
しかし、点$\text{O}$が三角形の外部にあるとき、頂点と点$\text{O}$を通る直線が対辺と平行になり、対辺またはその延長と交点をもたなくなる場合があります。