チェバの定理 ~ 数学について考えてみる

2022年3月5日

チェバの定理

PLUMBAGO

チェバの定理

　チェバの定理とは、

△ A B C

$△ABC$ の各頂点から伸びる3本の直線が点

O

$O$ で交わり、各直線と通る頂点の対辺またはその延長線との交点を

P, Q, R

$P,Q,R$ とするとき

\frac{R B}{A R} \cdot \frac{P C}{B P} \cdot \frac{Q A}{C Q} = 1

$\large\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}=1$

が成り立つという定理です。

赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。

これはなぜ成り立つのでしょうか？

　

\frac{R B}{A R}

$\dfrac{RB}{AR}$ を比で表すと

R B : A R

$RB:AR$ となり、

A B

$AB$ の一部を底辺とする三角形の面積比と考えると

R B : A R =△ B C R :△ A C R

$RB:AR=△BCR:△ACR$

ここで

△ B C R, △ A C R

$△BCR,△ACR$ の

C R

$CR$ を底辺とすると

△ B C O, △ A C O

$△BCO,△ACO$ の面積は

\begin{matrix} △ B C R & = \frac{C R}{C O} △ B C O △ A C R & = \frac{C R}{C O} △ A C O \end{matrix}

$\begin{align*}△BCR&=\frac{CR}{CO}△BCO\\[1em]△ACR&=\frac{CR}{CO}△ACO\end{align*}$

となるので

\begin{matrix} R B : A R & = \frac{C R}{C O} △ B C O : \frac{C R}{C O} △ A C O =△ B C O :△ A C O \frac{R B}{A R} & = \frac{△ B C O}{△ A C O} \\ (1) \end{matrix}

$\begin{align*}RB:AR&=\frac{CR}{CO}△BCO:\frac{CR}{CO}△ACO=△BCO:△ACO\\[0.5em]\frac{RB}{AR}&=\frac{△BCO}{△ACO}\tag1\end{align*}$

　同様にして

\begin{matrix} P C : B P & =△ A C P :△ A B P =△ A C O :△ A B O Q A : C Q & =△ A B Q :△ B C Q =△ A B O :△ B C O \end{matrix}

$\begin{align*}PC:BP&=△ACP:△ABP=△ACO:△ABO\\[1em]QA:CQ&=△ABQ:△BCQ=△ABO:△BCO\end{align*}$

すなわち

\begin{matrix} \frac{P C}{B P} & = \frac{△ A C O}{△ A B O} \frac{Q A}{C Q} & = \frac{△ A B O}{△ B C O} \\ (2) (3) \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{PC}{BP}&=\frac{△ACO}{△ABO}\tag2\\[1em]\frac{QA}{CQ}&=\frac{△ABO}{△BCO}\tag3\end{align*}$

となります。

　

(1), (2), (3)

$(1),(2),(3)$ より

\begin{matrix} \frac{R B}{A R} \cdot \frac{P C}{B P} \cdot \frac{Q A}{C Q} & = \frac{△ O B C}{△ O C A} \cdot \frac{△ O C A}{△ O A B} \cdot \frac{△ O A B}{△ O B C} ∴ \frac{R B}{A R} \cdot \frac{P C}{B P} \cdot \frac{Q A}{C Q} & = 1 \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}&=\frac{△OBC}{△OCA}\cdot\frac{△OCA}{△OAB}\cdot\frac{△OAB}{△OBC}\\[0.5em]\therefore\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}&=1\end{align*}$

となり、チェバの定理が成り立つことがわかります。

直線と辺が重なるときはチェバの定理が成り立たない

もし、いずれかの直線が辺と重なるように伸びると点

P, Q, R

$P,Q,R$ のうちの2つと点

O

$O$ が1つの頂点と重なり、辺上の2つの線分の長さが

0

$0$ になります。
すると、分母に

0

$0$ が現れてチェバの定理の式が成り立たなくなります。

チェバの定理②

　直線が三角形の辺の延長と交わるときというのは、上図のように点

O

$O$ が

△ A B C

$△ABC$ の外部にある場合です。このとき2つの辺の延長で直線と交わるので交点は辺の外分点となります。
この場合も上記のような手順でチェバの定理が成立することを確かめることができます。

メネラウスの定理との違いは直線が3本あること、それらは各頂点から伸びていて1点で交わっていることです。

(2024/12)加筆・一部修正しました。

Share: