2次不等式が成り立つためには？

「$x^2+3x+a<0$がある実数$x$に対して成り立つときaの値の範囲を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　まず、「$x^2+3x+a<0$がある実数$x$に対して成り立つ」とはどういう意味なのかを考えます。

これは与式を満たす実数$x$が存在する、すなわち与式が解を持つことを意味します。

なので、問題は「$x^2+3x+a<0$が解を持つときのaの値の範囲を求めよ。」と読むことができます。

$a<\dfrac{9}{4}$のとき、$y<0$を満たす$x$が存在する

　$y=x^2+3x+a$について考えると下に凸のグラフとなるから$y<0$を満たす$x$が存在する場合、x軸との共有点を2個持たなければなりません。
共有点が1個や0個だと$y<0$の部分がなくなるため2次不等式が成り立たなくなります。

したがって、判別式より

$$\begin{align*}D&=3^2-4\cdot1\cdot a\\ &=9-4a>0\\ \\ a<\frac{9}{4}\end{align*}$$
となるから、問題の答えは$a<\dfrac{9}{4}$となります。

　ちなみに、”ある実数$x$”は”$\exists x\in\mathbb{R}$”とも書きます。

対して”任意の実数$x$”はすべての実数$x$ともいい、”$\forall x\in\mathbb{R}$”とも書きます。

単に”実数$x$”であれば、”x\in\mathbb{R}”と書きます。