濃度の計算　正しく計算するには ~ 数学について考えてみる

2022年3月18日

濃度の計算　正しく計算するには

PLUMBAGO

「次の食塩水の濃度を求めよ。
(1)濃度

5

$5$ %の食塩水

120

$120$ gに食塩を

14

$14$ g加えると濃度は何％となるか？

(2)濃度 $10$ ％の食塩水 $80$ gに水を $40$ g加えると濃度は何％となるか？

(3)濃度 $4$ %の食塩水 $70$ gに濃度 $8$ ％の食塩水 $50$ gを加えると濃度は何％となるか？」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　濃度に関する計算は以下のようになります。

溶液は溶けているもの（溶質）と溶かしている液体（溶媒）の2つが混ざったものなので、溶液の重さは溶質と溶媒の重さの和となります。
そして濃度は溶液の重さのうち、溶質の占める重さの割合を意味するので

\begin{matrix} (a) & 濃度[%] = 溶質[g] \div 溶液[g] \times 100 \end{matrix}

$\text{濃度[%]}=\text{溶質[g]}÷\text{溶液[g]}×100\tag{a}$

という式で表されます。

濃度、溶質、溶液の3つの関係は上図の円のように表されます。
これは速さの「みはじの図」と同じで求めたいものを隠すとそれを求める式がわかるようになっています。

濃度を求めたい場合は濃度を隠し、円内の横棒を分数の横棒とすると

\frac{濃度[%]}{100} = \frac{溶質[g]}{溶液[g]}

$\frac{\text{濃度[%]}}{100}=\frac{\text{溶質[g]}}{\text{溶液[g]}}$

となり、上の濃度を求める式を変形したものができます。

また、溶質と溶液はそれぞれ

\begin{aligned} (b) & 溶質[g] & = \frac{濃度[%]}{100} \times 溶液[g] = \frac{濃度[%] \times 溶液[g]}{100} \\ (c) & 溶液[g] & = \frac{溶質[g]}{\frac{濃度[%]}{100}} = \frac{溶質[g] \times 100}{濃度[%]} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{溶質[g]}&=\frac{\text{濃度[%]}}{100}\times\text{溶液[g]}=\frac{\text{濃度[%]}\times\text{溶液[g]}}{100}\tag{b}\\[1em]\text{溶液[g]}&=\frac{\text{溶質[g]}}{\cfrac{\text{濃度[%]}}{100}}=\frac{\text{溶質[g]}\times100}{\text{濃度[%]}}\tag{c}\end{align*}$

により求められます。

　濃度を求める問題を解く基本は溶質と溶液の重さの変化を常に意識することです。

(1)

　まずは元々の食塩水に含まれる食塩の重さを求めます。

(b)

$\text{(b)}$ より、

\frac{5 \times 120}{100} = 6 [g]

$\frac{5×120}{100}=6\text{[g]}$

となります。

したがって、この食塩水の内訳は

水　： $120-6=114\text{[g]}$
食塩： $6\text{[g]}$

で、ここに食塩

14

$14$ gを加えると

水　： $114\text{[g]}$
食塩： $6+14=20\text{[g]}$

となるので、求める濃度は

\begin{aligned} \frac{20}{114 + 20} \times 100 & = \frac{20}{134} \times 100 \\ ≒ 14.9 [%] \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{20}{114+20}×100&=\frac{20}{134}×100\\[0.5em]&≒14.9\text{[%]}\end{align*}$

であるとわかります。

(2)

　(1)と同様に元々の食塩水に含まれる食塩の重さは

\frac{10 \times 80}{100} = 8 [g]

$\frac{10×80}{100}=8\text{[g]}$

であるから、この食塩水の内訳は

水　： $80-8=72\text{[g]}$
食塩： $8\text{[g]}$

で、ここに水を

40

$40$ g加えると

水　： $72+40=112\text{[g]}$
食塩： $8\text{[g]}$

となるので、求める濃度は

\begin{aligned} \frac{8}{112 + 8} \times 100 & = \frac{8}{120} \times 100 \\ ≒ 6.7 [%] \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{8}{112+8}×100&=\frac{8}{120}×100\\[0.5em]&≒6.7\text{[%]}\end{align*}$

であるとわかります。

(3)

濃度

4

$4$ %の食塩水

70

$70$ gの内訳は、含まれる食塩の重さが

\frac{4 \times 70}{100} = 2.8 [g]

$\frac{4×70}{100}=2.8\text{[g]}$

であるから

水　： $70-2.8=67.2\text{[g]}$
食塩： $2.8\text{[g]}$

濃度

8

$8$ %の食塩水

50

$50$ gの内訳は、含まれる食塩の重さが

\frac{8 \times 50}{100} = 4 [g]

$\frac{8×50}{100}=4\text{[g]}$

であるから

水　： $50-4=46\text{[g]}$
食塩： $4\text{[g]}$

この2つの食塩水を混ぜると

水　： $67.2+46=113.2\text{[g]}$
食塩： $2.8+4=6.8\text{[g]}$

なので、求める濃度は

\begin{aligned} \frac{6.8}{113.2 + 6.8} \times 100 & = \frac{6.8}{120} \times 100 \\ ≒ 5.7 [%] \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{6.8}{113.2+6.8}×100&=\frac{6.8}{120}×100\\[0.5em]&≒5.7\text{[%]}\end{align*}$

であるとわかります。

　みはじの図と同様の図がつくれる計算であれば濃度の計算のように考えて解くことができます。

数学について考えてみる

2022年3月18日