食塩水の濃度と重さの問題 ~ 数学について考えてみる

2024年8月6日

PLUMBAGO

「濃度が $3$ %の食塩水 $200$ gを加熱して水分をいくらか蒸発させた。
加熱後の食塩水の濃度を調べてみると $4$ %であった。この $4$ %食塩水の重さを求めよ。」

　まずは、

3

$3$ %食塩水

200

$200$ gに溶けている食塩の重さを求めます。

濃度は溶液（この問題の場合は食塩水）の重さを基準とした溶質（この問題の場合は食塩）の重さの割合のことなので

(濃度)[%] = \frac{(溶質の重さ)[g]}{(溶液の重さ)[g]} \times 100

$\text{(濃度)[%]}=\frac{\text{(溶質の重さ)[g]}}{\text{(溶液の重さ)[g]}}\times100$

で求められます。

また、濃度を百分率でない割合で表した場合の式は

(濃度) = \frac{(濃度)[%]}{100} = \frac{(溶質の重さ)[g]}{(溶液の重さ)[g]}

$\text{(濃度)}=\frac{\text{(濃度)[%]}}{100}=\frac{\text{(溶質の重さ)[g]}}{\text{(溶液の重さ)[g]}}$

となります。

この溶液の重さ、溶質の重さ、濃度の関係は上図のように道のり、速さ、時間の関係に似た形でまとめることができます。

したがって、溶質の重さを求める式は

(溶質の重さ)[g] = \frac{(濃度)[%]}{100} \times (溶液の重さ)[g]

$\text{(溶質の重さ)[g]}=\frac{\text{(濃度)[%]}}{100}\times\text{(溶液の重さ)[g]}$

となるので、

3

$3$ %食塩水

200

$200$ gに溶けている食塩の重さは

\begin{aligned} \frac{3}{100} \times 200 & = 0.03 \times 200 \\ = 6 [g] \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{3}{100}\times200&=0.03\times200\\[0.5em]&=6\text{[g]}\end{align*}$

と求められます。

　次に

4

$4$ ％食塩水について考えます。

3

$3$ %食塩水を加熱すると水分のみが減り、溶けている食塩の重さは変わりません。

したがって、加熱後にできる

4

$4$ %食塩水に溶けている食塩の重さは

6

$6$ gです。

濃度

4

$4$ %というのは、

4

$4$ %食塩水となった加熱後の食塩水の重さに対する食塩の重さの割合なので、

4 [%] = \frac{6 [g]}{(加熱後の食塩水の重さ)[g]}

$4\text{[%]}=\frac{6\text{[g]}}{\text{(加熱後の食塩水の重さ)[g]}}$

により求められます。

これを上図のように溶液の重さ、溶質の重さ、濃度の関係に当てはめると、

4

$4$ %食塩水の重さは

\begin{aligned} \frac{6 [g]}{\frac{4 [%]}{100}} \\ = \frac{6}{0.04} \\ = \frac{600}{4} \\ = 150 [g] \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{6\text{[g]}}{\cfrac{4\text{[%]}}{100}}\\[0.5em]&=\frac{6}{0.04}\\[0.5em]&=\frac{600}{4}\\[0.5em]&=150\text{[g]}\end{align*}$

と求められます。

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