座標平面上の直線l:y=ax+bl:y=ax+b(a,b:a,b:実数)上の任意の点PPを位置ベクトル→p⃗pをもちいて表す方法について考えてみます。
1. 基本ベクトル・ベクトル成分で表す
原点を始点とする位置ベクトルの基本ベクトル表示
→p=α→ex+β→ey(α,β:実数→ex:x軸方向の基本ベクトル→ey:y軸方向の基本ベクトル)⃗p=α→ex+β→ey⎛⎜
⎜⎝α,β:実数→ex:x軸方向の基本ベクトル→ey:y軸方向の基本ベクトル⎞⎟
⎟⎠
の各基本ベクトルの係数の組(α,β)(α,β)は位置ベクトル→p⃗pの成分でもあり、座標平面上の点(α,β)(α,β)に対応していることを利用します。
2. 直線上の異なる2点の位置ベクトルで表す
異なる2点を通る直線はただ1つであることを利用します。
直線ll上の2点M, Nをとり、それぞれの位置ベクトルを→m,→nとします。
すると、→n−→m=→MNとなります。
2点M, Nを通る直線はl以外に存在しないので→MNを表す有向線分MNは直線lの一部であり、同じく点Mを始点とするk→MN(k:実数)の終点は直線l上の点となります。
すると、→n−→m=→MNとなります。
2点M, Nを通る直線はl以外に存在しないので→MNを表す有向線分MNは直線lの一部であり、同じく点Mを始点とするk→MN(k:実数)の終点は直線l上の点となります。
そこで、k→MNの終点をPとする、すなわちk→MN=→MPし、位置ベクトルの始点をOとすると→p=→OP,→m=→OM,→n=→ONとなることより
→p=→OP=→OM+→MP=→OM+k→MN=→m+k(→n−→m)∴→p=(1−k)→m+k→n
となり、直線l:y=ax+b上の任意の点Pの位置ベクトル→pを同じくl上にある異なる2定点の位置ベクトルをもちいて表せることがわかります。
点Oは原点とは限らないということには注意です。点Oが原点であれば→pの成分は点Pの座標と一致します。
直線lが点Oを通るとき、点Mと点Oが同じ点であるとすれば、位置ベクトルは→m=→0となります。
すると(1)は
→p=(1−k)→0+k→n→p=k→n
と書けます。これは、ベクトルの始点と終点を明確にすれば
→OP=k→ON
であり、この式は相異なる3点O, P, Nが同一直線上にあるための条件となります。
また、(1)の別表記
→OP=(1−k)→OM+k→ON
も、相異なる3点P, M, Nが同一直線上にあるための条件となります。
3. 直線上の1点の位置ベクトルと直線に平行なベクトルで表す
2.において位置ベクトルでない→MNが登場しましたが、これを始点がOになるように平行移動して直線lに平行な有向線分で表される位置ベクトルにします。
→MNを平行移動して始点がO、終点がQに移ったとし、点Qの位置ベクトルを→qとします。すなわち、→MN=→OQ=→qとなるということです。
(1),(2)のベクトルの等式を満たす→pは直線l上のすべての点の位置ベクトルとなる、すなわち直線lを表すベクトルの等式となるので、(1),(2)は直線のベクトル方程式といいます。
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