座標平面上の直線$l:y=ax+b$（$a,b:$実数）上の任意の点$\text{P}$を位置ベクトル$\vec{p}$をもちいて表す方法について考えてみます。
1. 基本ベクトル・ベクトル成分で表す
原点を始点とする位置ベクトルの基本ベクトル表示
\begin{align*}\vec{p}=\alpha\vec{e_x}&+\beta\vec{e_y}\\
&\left(\begin{aligned}\alpha,\beta:&実数\\
\vec{e_x}:&x軸方向の基本ベクトル\hspace{3em}\\
\vec{e_y}:&y軸方向の基本ベクトル\end{aligned}\right)\end{align*}
の各基本ベクトルの係数の組$(α,β)$は位置ベクトル$\vec{p}$の成分でもあり、座標平面上の点$(α,β)$に対応していることを利用します。
\[(\alpha,\beta)=(t,at+b)\]
となるので、直線$l:y=ax+b$上の点$\text{P}$の位置ベクトル$\vec{p}$の基本ベクトル表示は
\[\vec{p}=t\vec{e_x}+(at+b)\vec{e_y}\]
位置ベクトル$\vec{p}$の成分は
\[\vec{p}=(t,at+b)\]
と書けます。
2. 直線上の異なる2点の位置ベクトルで表す
異なる2点を通る直線はただ1つであることを利用します。
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すると、$\vec{n}-\vec{m}=\vec{\text{MN}}$となります。
2点$\text{M, N}$を通る直線は$l$以外に存在しないので$\vec{\text{MN}}$を表す有向線分$\text{MN}$は直線$l$の一部であり、同じく点$\text{M}$を始点とする$k\vec{\text{MN}}$（$k:$実数）の終点は直線$l$上の点となります。
そこで、$k\vec{\text{MN}}$の終点を$\text{P}$とする、すなわち$k\vec{\text{MN}}=\vec{\text{MP}}$し、位置ベクトルの始点を$\text{O}$とすると$\vec{p}=\vec{\text{OP}},$$\vec{m}=\vec{\text{OM}},\vec{n}=\vec{\text{ON}}$となることより
\begin{align*}\vec{p}&=\vec{\text{OP}}\\[0.5em]&=\vec{\text{OM}}+\vec{\text{MP}}\\[0.5em]&=\vec{\text{OM}}+k\vec{\text{MN}}\\[0.5em]&=\vec{m}+k\bigl(\vec{n}-\vec{m}\bigr)\\[0.5em]\large\therefore
\vec{p}&\large=(1-k)\vec{m}+k\vec{n}\tag1\end{align*}
となり、直線$l:y=ax+b$上の任意の点$\text{P}$の位置ベクトル$\vec{p}$を同じく$l$上にある異なる2定点の位置ベクトルをもちいて表せることがわかります。
点$\text{O}$は原点とは限らないということには注意です。点$\text{O}$が原点であれば$\vec{p}$の成分は点$\text{P}$の座標と一致します。
直線$l$が点$\text{O}$を通るとき、点$\text{M}$と点$\text{O}$が同じ点であるとすれば、位置ベクトルは$\vec{m}=\vec{0}$となります。
すると$(1)$は
\begin{align*}\vec{p}&=(1-k)\vec{0}+k\vec{n}\\[0.5em]\vec{p}&=k\vec{n}\end{align*}
と書けます。これは、ベクトルの始点と終点を明確にすれば
\[\large\vec{\text{OP}}=k\vec{\text{ON}}\]
であり、この式は相異なる3点$\text{O, P, N}$が同一直線上にあるための条件となります。
また、$(1)$の別表記
\[\large\vec{\text{OP}}=(1-k)\vec{\text{OM}}+k\vec{\text{ON}}\]
も、相異なる3点$\text{P, M, N}$が同一直線上にあるための条件となります。
3. 直線上の1点の位置ベクトルと直線に平行なベクトルで表す
2.において位置ベクトルでない$\vec{\text{MN}}$が登場しましたが、これを始点が$\text{O}$になるように平行移動して直線$l$に平行な有向線分で表される位置ベクトルにします。
$\vec{\text{MN}}$を平行移動して始点が$\text{O}$、終点が$\text{Q}$に移ったとし、点$\text{Q}$の位置ベクトルを$\vec{q}$とします。すなわち、$\vec{\text{MN}}=\vec{\text{OQ}}=\vec{q}$となるということです。
\[\vec{\text{OP}}=\vec{\text{OM}}+k\vec{\text{MN}}\]
という式が成り立っていて、
\[\large\vec{p}=\vec{m}+k\vec{q}\tag2\]
と書けます。これが、直線$l:y=ax+b$上の任意の点$\text{P}$の位置ベクトル$\vec{p}$を同じく$l$上にある1つの定点の位置ベクトルと直線に平行なベクトルをもちいて表した式となります。
$(1),(2)$のベクトルの等式を満たす$\vec{p}$は直線$l$上のすべての点の位置ベクトルとなる、すなわち直線$l$を表すベクトルの等式となるので、$(1),(2)$は直線のベクトル方程式といいます。
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