直線上の点をベクトルで表すと ~ 数学について考えてみる

　座標平面上の直線 $l:y=ax+b$ （ $a,b:$ 実数）上の任意の点 $\text{P}$ を位置ベクトル $\vec{p}$ をもちいて表す方法について考えてみます。

1. 基本ベクトル・ベクトル成分で表す

　原点を始点とする位置ベクトルの基本ベクトル表示

$\begin{align*}\vec{p}=\alpha\vec{e_x}&+\beta\vec{e_y}\\ &\left(\begin{aligned}\alpha,\beta:&実数\\ \vec{e_x}:&x軸方向の基本ベクトル\hspace{3em}\\ \vec{e_y}:&y軸方向の基本ベクトル\end{aligned}\right)\end{align*}$

の各基本ベクトルの係数の組

$(α,β)$ は位置ベクトル

$\vec{p}$ の成分でもあり、座標平面上の点

$(α,β)$ に対応していることを利用します。

　直線

$l:y=ax+b$ 上の任意の点

$\text{P}$ の座標は実数

$t$ をもちいて

$(t,at+b)$ と表すことができることから

$(\alpha,\beta)=(t,at+b)$

となるので、直線

$l:y=ax+b$ 上の点

$\text{P}$ の位置ベクトル

$\vec{p}$ の基本ベクトル表示は

$\vec{p}=t\vec{e_x}+(at+b)\vec{e_y}$

位置ベクトル

$\vec{p}$ の成分は

$\vec{p}=(t,at+b)$

と書けます。

2. 直線上の異なる2点の位置ベクトルで表す

　異なる2点を通る直線はただ1つであることを利用します。

直線

$l$ 上の2点

$\text{M, N}$ をとり、それぞれの位置ベクトルを

$\vec{m},\vec{n}$ とします。
すると、

$\vec{n}-\vec{m}=\vec{\text{MN}}$ となります。
2点

$\text{M, N}$ を通る直線は

$l$ 以外に存在しないので

$\vec{\text{MN}}$ を表す有向線分

$\text{MN}$ は直線

$l$ の一部であり、同じく点

$\text{M}$ を始点とする

$k\vec{\text{MN}}$ （

$k:$ 実数）の終点は直線

$l$ 上の点となります。

そこで、

$k\vec{\text{MN}}$ の終点を

$\text{P}$ とする、すなわち

$k\vec{\text{MN}}=\vec{\text{MP}}$ し、位置ベクトルの始点を

$\text{O}$ とすると

$\vec{p}=\vec{\text{OP}},$

$\vec{m}=\vec{\text{OM}},\vec{n}=\vec{\text{ON}}$ となることより

$\begin{align*}\vec{p}&=\vec{\text{OP}}\\[0.5em]&=\vec{\text{OM}}+\vec{\text{MP}}\\[0.5em]&=\vec{\text{OM}}+k\vec{\text{MN}}\\[0.5em]&=\vec{m}+k\bigl(\vec{n}-\vec{m}\bigr)\\[0.5em]\large\therefore \vec{p}&\large=(1-k)\vec{m}+k\vec{n}\tag1\end{align*}$

となり、直線

$l:y=ax+b$ 上の任意の点

$\text{P}$ の位置ベクトル

$\vec{p}$ を同じく

$l$ 上にある異なる2定点の位置ベクトルをもちいて表せることがわかります。

点

$\text{O}$ は原点とは限らないということには注意です。点

$\text{O}$ が原点であれば

$\vec{p}$ の成分は点

$\text{P}$ の座標と一致します。

　直線

$l$ が点