a\leqq x\leqq bで定義されている連続関数y=f(x)の微分係数を調べるとx=aとx=bにおける微分係数がありません。
なぜこのようなことがいえるのでしょうか?
例を挙げると…
この増減表に着目すると定義域の端であるx=0とx=2におけるy'は書きません。
これはなぜかということについて考えます。
a\leqq x\leqq bで定義されている関数y=f(x)というのは、a\leqq x\leqq
bの中でのみxの値に対するyの値が定められているということを意味します。
次に微分係数の定義について考えます。
関数y=f(x)のx=cにおける微分係数f'(c)は
f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\tag1
という式で定義されています。これは、微分係数f'(c)とはxがcから限りなく近い値c+hまで変化したときのy=f(x)の平均変化率であることを意味しています。
ここで、\lim_{x\to d}f(x)がαという値をもつための条件は
すなわち、xをdより小さい値からdに近づけたときのf(x)の収束値\lim_{x\to d-0}f(x)とxをdより大きい値からdに近づけたときのf(x)の収束値\lim_{x\to d+0}f(x)が一致する必要があり、これが満たされたときに\lim_{x\to d}f(x)はその一致した値をもつということです。
\lim_{x\to d-0}f(x)=\lim_{x\to d+0}=α
であることです。すなわち、xをdより小さい値からdに近づけたときのf(x)の収束値\lim_{x\to d-0}f(x)とxをdより大きい値からdに近づけたときのf(x)の収束値\lim_{x\to d+0}f(x)が一致する必要があり、これが満たされたときに\lim_{x\to d}f(x)はその一致した値をもつということです。
このことから、(1)のf'(c)がαという値をもつためには
\lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\alpha
が成り立つ必要があるということになります。
以上を踏まえてa\leqq x\leqq
bで定義されている連続関数y=f(x)のx=a,bにおける微分係数について考えます。
まず、x=aにおける微分係数は左側極限\lim_{h\to-0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}と右側極限\lim_{h\to+0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}で一致した値となるのでそれぞれについて調べると、
右側極限
左側極限
しかし、y=f(x)はa\leqq x\leqq
bで定義されているので、この範囲外であるx=a+hにおけるf(x)の値f(a+h)は定義されていません。
したがって、左側極限\lim_{h\to-0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}を考えることができないので値をもちません。
以上より、右側極限と左側極限の値が一致しないのでx=aにおける微分係数はないことがわかります。
同様にx=bにおける微分係数について調べると、左側極限はa\leqq x\leqq
bの範囲で考えることができて収束値をもちますが、右側極限は値をもたないことから、x=bにおける微分係数もないことがわかります。
なお、x=a,x=b以外に微分係数をもたない点がないようにy=f(x)を連続関数としましたが、連続関数でなくても同様に定義域の端では微分係数をもちません。
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