a≦x≦bで定義されている連続関数y=f(x)の微分係数を調べるとx=aとx=bにおける微分係数がありません。
なぜこのようなことがいえるのでしょうか?
例を挙げると…
この増減表に着目すると定義域の端であるx=0とx=2におけるy′は書きません。
これはなぜかということについて考えます。
a≦x≦bで定義されている関数y=f(x)というのは、a≦x≦bの中でのみxの値に対するyの値が定められているということを意味します。
次に微分係数の定義について考えます。
関数y=f(x)のx=cにおける微分係数f′(c)は
f′(c)=limh→0f(c+h)−f(c)h
という式で定義されています。これは、微分係数f′(c)とはxがcから限りなく近い値c+hまで変化したときのy=f(x)の平均変化率であることを意味しています。
ここで、limx→df(x)がαという値をもつための条件は
すなわち、xをdより小さい値からdに近づけたときのf(x)の収束値limx→d−0f(x)とxをdより大きい値からdに近づけたときのf(x)の収束値limx→d+0f(x)が一致する必要があり、これが満たされたときにlimx→df(x)はその一致した値をもつということです。
limx→d−0f(x)=limx→d+0=α
であることです。すなわち、xをdより小さい値からdに近づけたときのf(x)の収束値limx→d−0f(x)とxをdより大きい値からdに近づけたときのf(x)の収束値limx→d+0f(x)が一致する必要があり、これが満たされたときにlimx→df(x)はその一致した値をもつということです。
以上を踏まえてa≦x≦bで定義されている連続関数y=f(x)のx=a,bにおける微分係数について考えます。
まず、x=aにおける微分係数は左側極限limh→−0f(a+h)−f(a)hと右側極限limh→+0f(a+h)−f(a)hで一致した値となるのでそれぞれについて調べると、
右側極限
左側極限
しかし、y=f(x)はa≦x≦bで定義されているので、この範囲外であるx=a+hにおけるf(x)の値f(a+h)は定義されていません。
したがって、左側極限limh→−0f(a+h)−f(a)hを考えることができないので値をもちません。
以上より、右側極限と左側極限の値が一致しないのでx=aにおける微分係数はないことがわかります。
同様にx=bにおける微分係数について調べると、左側極限はa≦x≦bの範囲で考えることができて収束値をもちますが、右側極限は値をもたないことから、x=bにおける微分係数もないことがわかります。
なお、x=a,x=b以外に微分係数をもたない点がないようにy=f(x)を連続関数としましたが、連続関数でなくても同様に定義域の端では微分係数をもちません。
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