正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。これはなぜでしょうか？
正三角形$\text{ABC}$の辺$\text{BC, CA, AB}$のそれぞれの中点を$\text{D, E, F}$、中線$\text{AD, BE, CF}$が交わる1点、すなわち重心を$\text{G}$とします。
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- 正三角形の中線は辺に垂直なので$∠\text{GDB}=∠\text{GDC}=90°$
- 点$\text{D}$は辺$\text{BC}$の中点なので$\text{BD}=\text{CD}$
- 共通の辺なので$\text{GD}＝\text{GD}$
同様にして、$△\text{GAF}$と$△\text{GBF}$が合同であることがわかります。
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- 正三角形の中線は辺に垂直なので$∠\text{GDB}=∠\text{GFB}=90°$
- $\text{BC}=\text{AB}$かつ点$\text{D, E}$はそれぞれ辺$\text{BC, AB}$の中点なので$\text{BD}=\text{BF}$
- 共通の辺なので$\text{GB}=\text{GB}$
このことから、$∠\text{GBD}=∠\text{GBF}$です。
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\begin{align*}\angle \text{ABC}&=\angle \text{GBD}+\angle
\text{GBF}\\[0.5em]&=\angle \text{GBD}+\angle
\text{GBD}&(\because\angle \text{GBD}=\angle
\text{GBF})\\[0.5em]&=2\angle \text{GBD}\\[0.5em]60°&=2\angle
\text{GBD}&(\because\angle \text{ABC}=60°)\\[0.5em]\therefore\angle
\text{GBD}&=30°\end{align*}
であることがわかります。
$△\text{GBD}≡△\text{GCD}$かつ$△\text{GAF}≡△\text{GBF}$かつ$△\text{GBD}≡△\text{GBF}$より$△\text{GBD}≡△\text{GAF}$となります。
このことから、$∠\text{GBD}=∠\text{GAF}=30°$であることがわかります。
また、$\text{GA}=\text{GB, GD}=\text{GF}$です。
このことから、$∠\text{GBD}=∠\text{GAF}=30°$であることがわかります。
また、$\text{GA}=\text{GB, GD}=\text{GF}$です。
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\[\text{GD}:\text{BD}:\text{GB}=\text{GF}:\text{AF}:\text{GA}=1:\sqrt{3}:2\]
であり、特に
\[\text{GB}:\text{GD}=\text{GA}:\text{GF}=2:1\]
です。
$\text{GA}=\text{GB, GD}=\text{GF}$より
\[\text{GA}:\text{GD}=2:1\]
であることがいえます。
線分$\text{AD}$は正三角形$\text{ABC}$の中線の1本で、重心$\text{G}$は中線$\text{AD}$上の点なので、重心$\text{G}$は中線$\text{AD}$を$2:1$に内分することがわかります。
他の中線についても同様の方法で示すことができるので、正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。
(2025/4)内容を変更しました。
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