図2 相似の証明 |
$△ABD$と$△AOF$について考えます。
この2つの三角形は直角三角形で、$∠BAD$と$∠OAF$、$∠ABD$と$∠AOF$の大きさが等しいです。
3組の角がそれぞれ等しいので$△ABD$と$△AOF$は相似です。
図3 $△ABD$の三角比 |
$∠ABD$はもともと正三角形の内角なので$60°$です。
$△ABD$は直角三角形なので鋭角の1つが$60°$の3辺の比は図3のようになります。
よって、$AD$の長さは$AB$の長さを使って図3にある式で表されます。
図4 $△AOF$の三角比 |
次に$△AOF$についてです。$△AOF$は$△ABD$と相似の関係にあるので、三角比は図4のようになります。
また、$AF$は$AB$の半分であることから、$AO$は図4の式で表されます。
図5 比の計算 |
$AO$と$AD$をともに$AB$を使って表すことができました。
$AD:AO$を求めると、$3:2$であることがわかります。
$OD$は$AD$から$AO$を引いたものなので、比から$3-2=1$となり、$AO:OD$が$\mathbf{2:1}$であることを示すことができました。
他の中線についても同様の方法で示すことができるので、正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。
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