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2021年7月16日

正三角形の重心が中線を2:1に内分するのはなんでだっけ……?

正三角形の重心は中線を2:1に内分する
 三角形の重心とは、頂点と対辺の中点を結ぶ中線の交点のことです。
正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。これはなぜでしょうか?

 正三角形$\text{ABC}$の辺$\text{BC, CA, AB}$のそれぞれの中点を$\text{D, E, F}$、中線$\text{AD, BE, CF}$が交わる1点、すなわち重心を$\text{G}$とします。
△GBDと△GCDは合同。△GAFと△GBFも合同
$△\text{GBD}$と$△\text{GCD}$に着目すると
  • 正三角形の中線は辺に垂直なので$∠\text{GDB}=∠\text{GDC}=90°$
  • 点$\text{D}$は辺$\text{BC}$の中点なので$\text{BD}=\text{CD}$
  • 共通の辺なので$\text{GD}=\text{GD}$
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
同様にして、$△\text{GAF}$と$△\text{GBF}$が合同であることがわかります。

△GBDと△GBFは合同
$△\text{GBD}$と$△\text{GBF}$に着目すると
  • 正三角形の中線は辺に垂直なので$∠\text{GDB}=∠\text{GFB}=90°$
  • $\text{BC}=\text{AB}$かつ点$\text{D, E}$はそれぞれ辺$\text{BC, AB}$の中点なので$\text{BD}=\text{BF}$
  • 共通の辺なので$\text{GB}=\text{GB}$
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから、$∠\text{GBD}=∠\text{GBF}$です。
∠GBDと∠GBFの大きさは30°
ここで、$∠\text{ABC}=60°$かつ$∠\text{ABC}=∠\text{GBD}+∠\text{GBF}$であることより
\begin{align*}\angle \text{ABC}&=\angle \text{GBD}+\angle \text{GBF}\\[0.5em]&=\angle \text{GBD}+\angle \text{GBD}&(\because\angle \text{GBD}=\angle \text{GBF})\\[0.5em]&=2\angle \text{GBD}\\[0.5em]60°&=2\angle \text{GBD}&(\because\angle \text{ABC}=60°)\\[0.5em]\therefore\angle \text{GBD}&=30°\end{align*}
であることがわかります。
$△\text{GBD}≡△\text{GCD}$かつ$△\text{GAF}≡△\text{GBF}$かつ$△\text{GBD}≡△\text{GBF}$より$△\text{GBD}≡△\text{GAF}$となります。
このことから、$∠\text{GBD}=∠\text{GAF}=30°$であることがわかります。
また、$\text{GA}=\text{GB, GD}=\text{GF}$です。

合同な30°-60°-90°の直角三角形よりAG:GD=2:1
$△\text{GBD}$と$△\text{GAF}$はともに$30°-60°-90°$の直角三角形なので、3辺の比は
\[\text{GD}:\text{BD}:\text{GB}=\text{GF}:\text{AF}:\text{GA}=1:\sqrt{3}:2\]
であり、特に
\[\text{GB}:\text{GD}=\text{GA}:\text{GF}=2:1\]
です。
$\text{GA}=\text{GB, GD}=\text{GF}$より
\[\text{GA}:\text{GD}=2:1\]
であることがいえます。
線分$\text{AD}$は正三角形$\text{ABC}$の中線の1本で、重心$\text{G}$は中線$\text{AD}$上の点なので、重心$\text{G}$は中線$\text{AD}$を$2:1$に内分することがわかります。

他の中線についても同様の方法で示すことができるので、正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。

(2025/4)内容を変更しました。
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