正三角形の重心が中線を2:1に内分するのはなんでだっけ……？

　三角形の重心とは、頂点と対辺の中点を結ぶ中線の交点のことです。
正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。これはなぜでしょうか？

　正三角形$\text{ABC}$の辺$\text{BC, CA, AB}$のそれぞれの中点を$\text{D, E, F}$、中線$\text{AD, BE, CF}$が交わる1点、すなわち重心を$\text{G}$とします。

$△\text{GBD}$と$△\text{GCD}$に着目すると

• 正三角形の中線は辺に垂直なので$∠\text{GDB}=∠\text{GDC}=90°$
• 点$\text{D}$は辺$\text{BC}$の中点なので$\text{BD}=\text{CD}$
• 共通の辺なので$\text{GD}＝\text{GD}$

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。

関連：正三角形の中線が垂直二等分線であることの証明

同様にして、$△\text{GAF}$と$△\text{GBF}$が合同であることがわかります。

$△\text{GBD}$と$△\text{GBF}$に着目すると

• 正三角形の中線は辺に垂直なので$∠\text{GDB}=∠\text{GFB}=90°$
• $\text{BC}=\text{AB}$かつ点$\text{D, E}$はそれぞれ辺$\text{BC, AB}$の中点なので$\text{BD}=\text{BF}$
• 共通の辺なので$\text{GB}=\text{GB}$

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから、$∠\text{GBD}=∠\text{GBF}$です。

ここで、$∠\text{ABC}=60°$かつ$∠\text{ABC}=∠\text{GBD}+∠\text{GBF}$であることより

$$\begin{align*}\angle \text{ABC}&=\angle \text{GBD}+\angle \text{GBF}\\[0.5em]&=\angle \text{GBD}+\angle \text{GBD}&(\because\angle \text{GBD}=\angle \text{GBF})\\[0.5em]&=2\angle \text{GBD}\\[0.5em]60°&=2\angle \text{GBD}&(\because\angle \text{ABC}=60°)\\[0.5em]\therefore\angle \text{GBD}&=30°\end{align*}$$

であることがわかります。

$△\text{GBD}≡△\text{GCD}$かつ$△\text{GAF}≡△\text{GBF}$かつ$△\text{GBD}≡△\text{GBF}$より$△\text{GBD}≡△\text{GAF}$となります。
このことから、$∠\text{GBD}=∠\text{GAF}=30°$であることがわかります。
また、$\text{GA}=\text{GB, GD}=\text{GF}$です。

$△\text{GBD}$と$△\text{GAF}$はともに$30°-60°-90°$の直角三角形なので、3辺の比は

$$\text{GD}:\text{BD}:\text{GB}=\text{GF}:\text{AF}:\text{GA}=1:\sqrt{3}:2$$

であり、特に

$$\text{GB}:\text{GD}=\text{GA}:\text{GF}=2:1$$

です。

関連：二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで

$\text{GA}=\text{GB, GD}=\text{GF}$より

$$\text{GA}:\text{GD}=2:1$$

であることがいえます。

線分$\text{AD}$は正三角形$\text{ABC}$の中線の1本で、重心$\text{G}$は中線$\text{AD}$上の点なので、重心$\text{G}$は中線$\text{AD}$を$2:1$に内分することがわかります。

他の中線についても同様の方法で示すことができるので、正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。

(2025/4)内容を変更しました。

関連：三角形の重心は中線を何：何に内分する？

関連：三角形の重心とその性質

関連：内分と外分