任意の角度に対して定義された三角関数の振る舞いはグラフという形で表すことができます。
$\sin x, \cos x, \tan x$のグラフがどのような形であるのかを見てみます。
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2026年4月16日
2026年4月10日
三角関数とは？ ②単位円による定義
三角比とは、直角三角形の1つの鋭角$θ$に対して定まる2つの辺の比のことで、代表的なものに$\sinθ,
\cosθ, \tanθ$があります。
これらの値は、鋭角$θ$の大きさに応じてただ1つに定まります。
このように、ある値を決めると対応する値が1つに決まる関係を関数といいます。
したがって、$\sinθ, \cosθ,
\tanθ$は関数として扱うことができ、これらをまとめて三角関数といいます。
すなわち、角度と三角比の値との対応関係に着目したものが三角関数です。
直角三角形による定義においては三角比と三角関数は同じものとして扱うことができます。
しかし、直角三角形による定義では$θ$は鋭角なので、$0°<θ<90°$の範囲の角度にしか対応できません。
しかし、直角三角形による定義では$θ$は鋭角なので、$0°<θ<90°$の範囲の角度にしか対応できません。
そこで、任意の角度においても値を定められるように、直角三角形に依存しない定義として単位円をもちいて三角関数を定義します。
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2025年6月13日
三角形の頂点の位置を求める（三角関数・測量）
この三角形の各頂点を上図のように$\text{A,B,C}$とすると、辺$\text{AB}$の長さは$15\text{m}$、辺$\text{BC}$の長さは$6\text{m}$、辺$\text{AB}$は北方向から時計回りに$45°$の角をなし、内角$\text{ABC}$は南側に開いていて$75°$であった。
頂点$\text{A}$の位置を基準としたとき、頂点$\text{C}$は頂点$\text{A}$から北または南方向へ何$\text{m}$、東または西方向へ何$\text{m}$の位置にあるかを求めよ。」
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2024年12月30日
リサジュー図形とは？
リサジュー図形とは、各点のx座標とy座標が三角関数の$\sin$や$\cos$によって決まる図形のことです。
すなわち、例えば
\begin{cases}x=A\cos(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}
（$A,B,a,b,θ,φ:$定数）という媒介変数表示で表される図形のことをリサジュー図形といいます。
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2024年9月8日
垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは？
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2024年5月3日
2024年4月26日
2024年4月20日
平面座標を三角関数をもちいて表す
\[\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。
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2023年12月23日
2023年12月17日
2023年12月11日
2023年12月9日
2023年12月7日
2023年12月6日
2023年12月2日
恒等でないtanの半角の公式の変形
「三角関数 半角の公式」で紹介した$\tan$の半角の公式
\begin{equation}\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\end{equation}
には$\tan\dfrac{θ}{2}$が定義できるすべての実数$θ$において恒等な変形
\[\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\]
が存在しますが、恒等でない変形も存在します。
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2023年11月30日
2023年11月27日
三角関数 半角の公式
\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
これら三角関数の半角の公式は、$\cos$の2倍角の公式
\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}
を利用して導くことができます。
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2023年11月25日
三角関数 2倍角の公式
\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}
これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。
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