正の数の累乗（自然数乗）の値と底の同値関係

　正の数の累乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の累乗の値と底の同値関係

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^n<1\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^n\end{align}

正の数の累乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m>a^n\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m=a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^m<a^n\end{align}

正の数$a, b$と自然数$n$について

\begin{align}\large a<b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n<b^n\\[1em]\large a=b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=b^n\end{align}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の整数乗の性質・大小関係

　正の数の整数乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の整数乗の性質

$1<a$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}0<a^n<1&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]1<a^n&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=0\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と整数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}1<a^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]0<a^n<1&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=\infty\end{gather*}

特に、正の数$a$と整数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の整数乗の大小関係

・底が同じ場合

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m>a^n\]

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m<a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と整数$n$について

\[\large\begin{cases}a^n>b^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=b^n=1&(n=0)\\[0.5em]a^n<b^n&(n>0)\end{cases}\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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正の数の累乗（自然数乗）の性質・大小関係

　正の数の累乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の累乗の性質

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large a^n>1\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large0<a^n<1\\[0.5em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\end{gather*}

特に、正の数$a$と自然数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の累乗の大小関係

・底が同じ場合

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m<a^n\]

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m>a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について

\[\large a^n<b^n\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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