正の数の累乗の値と底には以下のような同値関係があります。
正の数の累乗の値と底の同値関係
正の数$a$と自然数$n$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\
&\large0<a^n<1\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\
&\large a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\
&\large1<a^n\end{align}
正の数の累乗の大小関係と底の同値関係
正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large
a^m>a^n\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large
a^m=a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large
a^m<a^n\end{align}
正の数$a, b$と自然数$n$について
\begin{align}\large a<b\ \Leftrightarrow\ &\large
a^n<b^n\\[1em]\large a=b\ \Leftrightarrow\ &\large
a^n=b^n\end{align}
これらが成り立つことを確かめてみます。
準備
「正の数の累乗の性質・大小関係」で示した次のことを利用します。
正の数の累乗の性質
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について
\[0<a^n<1\]
$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず
\[a^n=1\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について
\[1<a^n\]
正の数の累乗の大小関係
正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\begin{cases}a^m>a^n&(0<a<1)\\[0.5em]a^m=a^n=1&(a=1)\\[0.5em]a^m<a^n&(1<a)\end{cases}
$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について
\[a^n<b^n\]
これらより以下のような真なる命題がいえます。
正の数の累乗の値と底の命題
正の数$a$と自然数$n$について
\begin{align*}0<a<1\ \Rightarrow\
&0<a^n<1\tag{i}\\[1em]a=1\ \Rightarrow\
&a^n=1\tag{ii}\\[1em]1<a\ \Rightarrow\
&1<a^n\tag{iii}\end{align*}
正の数の累乗の大小関係と底の命題
正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\begin{align*}0<a<1\ \Rightarrow\
&a^m>a^n\tag{iv}\\[1em]a=1\ \Rightarrow\
&a^m=a^n=1\tag{v}\\[1em]1<a\ \Rightarrow\
&a^m<a^n\tag{vi}\end{align*}
正の数$a, b$と自然数$n$について
\[a<b\ \Rightarrow\ a^n<b^n\tag{vii}\]
正の数の累乗の値と底の同値関係
$(1)\ 0<a<1\ \Leftrightarrow\ 0<a^n<1$
$(1)$が真であるためには、真なる命題$\text{(i)}$の逆、すなわち
\[0<a^n<1\ \Rightarrow\ 0<a<1\tag*{(i)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(i)'}$の対偶は
しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[a\leqq0または1\leqq a\ \Rightarrow\ a^n\leqq0または1\leqq a^n\]
となります。しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[1\leqq a\ \Rightarrow\ a^n\leqq0または1\leqq a^n\]
とすることができます。
この命題の真偽を$a=1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。
- $a=1$のとき、$\text{(ii)}$より$a^n=1$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(iii)}$より$1<a^n$となります。
（命題参照）
以上より、$1≦a$のとき$1≦a^n$が成り立つので、$\text{(i)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(i)'}$も真であるため、$\text{(i)}$と$\text{(i)'}$より$(1)$が真であることがわかります。
$(2)\ a=1\ \Leftrightarrow\ a^n=1$
$(2)$が真であるためには、真なる命題$\text{(ii)}$の逆、すなわち
\[a^n=1\ \Rightarrow\ a=1\tag*{(ii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(ii)'}$の対偶は
\[a\neq1\ \Rightarrow\ a^n\neq1\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。（正の数$a$において$a≠1$とは、$0<a<1$または$1<a$であるということです。）
- $0<a<1$のとき、$\text{(i)}$より$0<a^n<1$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(iii)}$より$1<a^n$となります。
（命題参照）
以上より、$a≠1$のとき$a^n≠1$が成り立つので、$\text{(ii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(ii)'}$も真であるため、$\text{(ii)}$と$\text{(ii)'}$より$(2)$が真であることがわかります。
$(3)\ 1<a\ \Leftrightarrow\ 1<a^n$
$(3)$が真であるためには、真なる命題$\text{(iii)}$の逆、すなわち
\[1<a^n\ \Rightarrow\ 1<a\tag*{(iii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(iii)'}$の対偶は
しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[a\leqq1\ \Rightarrow\ a^n\leqq1\]
となります。しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[0<a\leqq1\ \Rightarrow\ a^n\leqq1\]
とすることができます。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$a=1$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$のとき、$\text{(i)}$より$0<a^n<1$となります。
- $a=1$のとき、$\text{(ii)}$より$a^n=1$となります。
（命題参照）
以上より、$0<a≦1$のとき$a^n≦1$が成り立つので、$\text{(iii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(iii)'}$も真であるため、$\text{(iii)}$と$\text{(iii)'}$より$(3)$が真であることがわかります。
正の数の累乗の大小関係と底の同値関係
$(4)\ 0<a<1\ \Leftrightarrow\ a^m>a^n$
$(4)$が真であるためには、真なる命題$\text{(iv)}$の逆、すなわち
\[a^m>a^n\ \Rightarrow\ 0<a<1\tag*{(iv)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(iv)'}$の対偶は
しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[a\leqq0または1\leqq a\ \Rightarrow\ a^m\leqq a^n\]
となります。しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[1\leqq a\ \Rightarrow\ a^m\leqq a^n\]
とすることができます。
この命題の真偽を$a=1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。
- $a=1$のとき、$\text{(v)}$より$a^m=a^n$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(vi)}$より$a^m<a^n$となります。
（命題参照）
以上より、$1≦a$のとき$a^m≦a^n$が成り立つので、$\text{(iv)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(iv)'}$も真であるため、$\text{(iv)}$と$\text{(iv)'}$より$(4)$が真であることがわかります。
$(5)\ a=1\ \Leftrightarrow\ a^m=a^n=1$
$(5)$が真であるためには、真なる命題$\text{(v)}$の逆、すなわち
\[a^m=a^n=1\ \Rightarrow\ a=1\tag*{(v)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(v)'}$の対偶は
\[a\neq1\ \Rightarrow\ a^m\neq a^nまたはa^m\neq1またはa^n\neq1\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$のとき、$\text{(iv)}$より$a^m>a^n$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(vi)}$より$a^m<a^n$となります。
（命題参照）
以上より、$a≠1$のとき$a^m≠a^n$が成り立つので、$\text{(v)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(v)'}$も真であるため、$\text{(v)}$と$\text{(v)'}$より$(5)$が真であることがわかります。
$(6)\ 1<a\ \Leftrightarrow\ a^m<a^n$
$(6)$が真であるためには、真なる命題$\text{(vi)}$の逆、すなわち
\[a^m<a^n\ \Rightarrow\ 1<a\tag*{(vi)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(vi)'}$の対偶は
しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[a\leqq1\ \Rightarrow\ a^m\geqq a^n\]
となります。しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[0<a\leqq1\ \Rightarrow\ a^m\geqq a^n\]
とすることができます。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$a=1$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$のとき、$\text{(iv)}$より$a^m>a^n$となります。
- $a=1$のとき、$\text{(v)}$より$a^m=a^n$となります。
（命題参照）
以上より、$0<a≦1$のとき$a^m≧a^n$が成り立つので、$\text{(vi)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(vi)'}$も真であるため、$\text{(vi)}$と$\text{(vi)'}$より$(6)$が真であることがわかります。
$(7)\ a<b\ \Leftrightarrow\ a^n<b^n$
$(7)$が真であるためには、真なる命題$\text{(vii)}$の逆、すなわち
\[a^n<b^n\ \Rightarrow\ a<b\tag*{(vii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(vii)'}$の対偶は
\[a\geqq b\ \Rightarrow\ a^n\geqq b^n\]
となります。
この命題の真偽を$a=b$のときと$a>b$のときで場合分けして調べます。
- $a=b$のとき、明らかに$a^n=b^n$となります。
- $a>b$のとき、$\text{(vii)}$の$a$と$b$を入れ替えて$a^n>b^n$となります。
（命題参照）
以上より、$a≧b$のとき$a^n≧b^n$が成り立つので、$\text{(vii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(vii)'}$も真であるため、$\text{(vii)}$と$\text{(vii)'}$より$(7)$が真であることがわかります。
$(8)\ a=b\ \Leftrightarrow\ a^n=b^n$
$(8)$が真であるためには、自明の命題
\[a=b\ \Rightarrow\ a^n=b^n\tag{viii}\]
の逆、すなわち
\[a^n=b^n\ \Rightarrow\ a=b\tag*{(viii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(viii)'}$の対偶は
\[a\neq b\ \Rightarrow\ a^n\neq b^n\]
となります。
この命題の真偽を$a<b$のときと$a>b$のときで場合分けして調べます。
- $a<b$のとき、$\text{(vii)}$より$a^n<b^n$となります。
- $a>b$のとき、$\text{(vii)}$の$a$と$b$を入れ替えて$a^n>b^n$となります。
（命題参照）
以上より、$a≠b$のとき$a^n≠b^n$が成り立つので、$\text{(viii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(viii)'}$も真であるため、$\text{(viii)}$と$\text{(viii)'}$より$(8)$が真であることがわかります。
Share:
