発散する数列と収束する数列の和・差の極限

　無限大に発散する数列と収束する数列の和・差の極限は以下のようになります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +c_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の差の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(b_n -a_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n -a_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -c_n\bigr)=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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数列の大小関係を利用した極限の判定（はさみうちの原理、無限大に発散の判定）

　数列の大小関係を利用することで、極限のわからない数列の極限を判定する方法があります。
それは$N_0$を自然数として、次のようなものになります。

はさみうちの原理

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n≦c_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=α$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=α$が成り立つ。

正の無限大に発散を下から判定

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$が成り立つ。

負の無限大に発散を上から判定

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≧b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty$が成り立つ。

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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発散する数列の極限の性質②（四則演算）

　無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}d_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n +d_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の差の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -c_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(d_n -b_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の積の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}b_n c_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c_n d_n=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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発散する数列の極限の性質①（定数倍、逆数）

　無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の定数倍の極限

$c$が正の定数のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=-\infty\end{gather*}

$c=0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=0\end{gather*}

$c$が負の定数のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=\infty\end{gather*}

数列の逆数の極限

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項についてそれぞれ$a_n, b_n≠0$であるとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=0\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質③（四則演算）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha +\beta\]

数列の差の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha -\beta\]

数列の積の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]

数列の商の極限

　ここでは、数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$β≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]

数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質②（定数倍、逆数）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}$について

\[\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\]

が成り立つとします。

数列の定数倍の極限

$k$を任意の実数とすると

\[\large \lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]

数列の逆数の極限

　ここでは、数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$α≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]

第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\]

第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=-\infty\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件③（εやKの範囲を制限かつεやKを正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件①」と「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件②」を組み合わせた同値な条件があります。

正の定数$c, ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質①（一意性、大小関係）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

極限の一意性

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n=b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha=\beta\]

極限の大小関係

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n≦b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha\leqq\beta\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

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収束する数列の性質（収束する数列と有界な数列）

数列$\{a_n\}$が収束するならば、すべての項において$|a_n|<K$を満たす正の数$K$が存在する。

といえます。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②（εやKの正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で紹介したものとは別の同値な条件もあります。

正の定数$c$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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実数における三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、実数$x, y$における三角不等式は

\[\large \bigl||x|-|y|\bigr|\leqq |x+y|\leqq |x|+|y|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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幾何ベクトルにおける三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、ベクトル$\vec{x}, \vec{y}$における三角不等式は

\[\large \bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①（εやKの範囲を制限）

　数列の極限の収束、無限大に発散の定義にはそれぞれ同値な条件があります。

正の定数$ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<ε$が成り立つ。

この条件は、収束の定義と比較して、$ε$の範囲をより$0$に近い部分に制限しています。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>K$が成り立つ。

この条件は、正の無限大に発散の定義と比較して、$K$の範囲をより絶対値の大きい部分に制限しています。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<L$が成り立つ。

この条件は、負の無限大に発散の定義と比較して、$L$の範囲をより絶対値の大きい部分に制限しています。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ②数列の極限・発散

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の発散の定義をみてみます。

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ①数列の極限・収束

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の収束の定義をみてみます。

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正の数の実数乗の値と底の同値関係

　正の数の実数乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の実数乗の値と底の同値関係

正の数$a$と負の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\end{align}

正の数$a$と正の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\end{align}

正の数$a$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}

正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x>a^y\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x=a^y=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^x<a^y\end{align}

正の数$a, b$と負の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x>b^x\end{equation}

正の数$a, b$と正の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x<b^x\end{equation}

正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x\end{equation}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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