正の数の実数乗の値と底には、以下のような同値関係があります。
正の数の実数乗の値と底の同値関係
正の数$a$と負の実数$x$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\
&\large1<a^x\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\
&\large0<a^x<1\end{align}
正の数$a$と正の実数$x$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\
&\large0<a^x<1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\
&\large1<a^x\end{align}
正の数$a$と$0$でない実数$x$について
\begin{equation}\large a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}
正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係
正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large
a^x>a^y\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\
&a^x=a^y=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large
a^x<a^y\end{align}
正の数$a, b$と負の実数$x$について
\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\
a^x>b^x\end{equation}
正の数$a, b$と正の実数$x$について
\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\
a^x<b^x\end{equation}
正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について
\begin{equation}\large a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x\end{equation}
これらが成り立つことを確かめてみます。
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