数列$\{a_n\}$が収束するならば、すべての項において$|a_n|<K$を満たす正の数$K$が存在する。
といえます。
なぜこのようなことがいえるのでしょうか？
まず、「すべての項において$|a_n|<K$」とは、数列$\{a_n\}$のすべての項の値が
\[-K<a_n<K\]
を満たす、すなわち数列のすべての項の値が上からも下からも抑えられているということです。
数列$\{a_n\}$のすべての項の値が、ある正の数$K$に対して$|a_n|<K$を満たしているとき、数列$\{a_n\}$は有界であるといいます。
したがって、上記の命題は
数列が収束するならば有界である。
と言い換えることができます。
命題の証明
数列$\{a_n\}$が収束するので、極限値を$α$とおくと、数列の収束の定義
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<ε$
が成り立ちます。
したがって、$ε=1$としても、これに対応する自然数$N_1$が存在して、$n>N_1$を満たすすべての$n$において常に
\[|a_n-\alpha|<1\]
が成り立ちます。
これの両辺に$|α|$を加えると
\begin{equation}|a_n-\alpha|+|\alpha|<|\alpha|+1\end{equation}
となります。
ここで、三角不等式より
\begin{equation}|a_n|=\bigl|(a_n-\alpha)+\alpha\bigr|\leqq
|a_n-\alpha|+|\alpha|\end{equation}
となります。
$(1), (2)$より
\begin{align*}|a_n|&\leqq
|a_n-\alpha|+|\alpha|<|\alpha|+1\\[0.5em]\therefore
|a_n|&<|\alpha|+1\end{align*}
となり、数列$\{a_n\}$の第$N_1+1$項以降のすべての項の絶対値は$|α|+1$より小さいことがわかります。
次に、数列$\{a_n\}$の初項から第$N_1$項までのすべての項の絶対値と$|α|+1$の大きさを比較します。
\[|a_1|, |a_2|, |a_3|, \cdots, |a_{N_1}|, |\alpha|+1\]
は有限個なので、この中に必ず最大値が存在し、それは$|α|+1≧1$より必ず正の数です。
そこで、最大値より大きい1つの正の数を$K$とすると、
-
初項から第$N_1$項までのすべての項において\[|a_n|<K\]
-
第$N_1+1$項以降のすべての項において\begin{align*}|a_n|&<|\alpha|+1<K\\[0.5em]\therefore |a_n|&<K\end{align*}
\[|a_n|<K\]
が成り立ちます。
したがって、命題
数列$\{a_n\}$が収束するならば、すべての項において$|a_n|<K$を満たす正の数$K$が存在する。
が真であることがわかります。
ちなみに、この命題の逆は偽となります。
例えば、$b_n=(-1)^n$という数列はすべての項の絶対値が$1$なので、例えば$K=2$をとれば
\[|b_n|<2\]
を満たし、有界であることがわかります。
しかし、$\{b_n\}$は
\[-1, 1, -1, 1, \cdots\]
という数列なので収束せず、振動します。
したがって、命題の逆
数列が有界ならば収束する。
は$\{b_n\}$が反例となって偽となることがわかります。
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