数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の収束の定義をみてみます。
本記事では、数列の収束の定義をみてみます。
数列の収束の定義・定義の言い換え
数列の極限とは、
無限数列の項の番号を限りなく大きくするときに現れる一定の振る舞い
のことです。
この数列の極限のうち、数列$\{a_n\}$がある1つの値$α$に限りなく近づくことは、イプシロン-エヌ論法では$ε$と$N$をもちいて次のように定義されます。
そして、このことを
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<ε$が成り立つ。
数列$\{a_n\}$に対し、この定義を満たすような$α$が存在するとき、数列$\{a_n\}$は$α$に収束するといい、$α$を極限値といいます。
そして、このことを
$n→∞$のとき、$a_n→α$
あるいは
\[\large\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\]
と表します。
まず、「任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して」の部分は、どんな正の数$ε$に対しても、それに応じた自然数$N$を決めることができることを意味します。
そして、「$n>N$を満たすすべての$n$において」の部分は、数列$\{a_n\}$を初項から第$N$項までと第$N+1$項以降の2つに分割し、第$N+1$項以降の部分だけを考えることを意味します。すなわち、$N$は数列の着目する範囲の境界を表します。
最後に、$|a_n-α|<ε$を変形すると
\begin{gather*}|a_n-\alpha|<\epsilon\\[0.5em]-\epsilon<a_n-\alpha<\epsilon\\[0.5em]\alpha-\epsilon<a_n<\alpha+\epsilon\end{gather*}
となることから、$a_n$の値が$α-ε$と$α+ε$の間に収まることを意味します。すなわち、$ε$は$a_n$の$α$との誤差の範囲の境界を表します。
したがって、上記の数列の収束の定義は
どんな正の数$ε$に対しても、数列$\{a_n\}$の第$N+1$項以降のすべての項の値が$α-ε$と$α+ε$の間に収まるような自然数$N$が必ず存在する。
と言い換えることができます。
定義は収束の直感と合致するか？
上記の定義の言い換えに基づいて、数列が定義を満たすことと数列が収束することの直感的な説明
$n$が限りなく大きくなるとき、$a_n$の値が$α$に限りなく近づく
が合致するのかを確かめてみます。
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すなわち、$ε$が$ε_1$より大きい場合に対応する自然数$N$は存在しているということなので、$ε$が$ε_1$より小さい場合についてのみ考えることになります。
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このとき、第$N_2+1$項以降のすべての項の値が$α-ε_2$から$α+ε_2$の間に収まるということは、$M>N_2$である自然数$M$をとっても、同様に第$M+1$項以降のすべての項の値は$α-ε_2$から$α+ε_2$の間に収まります。
すなわち、$ε_2$に対応する$N_2$の値は、最初に決めた自然数の他にそれより大きい自然数すべてがあてはまるということです。
したがって、定義を満たしたまま自然数$N_2$の値を$N_2>N_1$となるようにとり直すことができます。
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その結果、$ε_1>ε_2>ε_3>\cdots$というように要求する誤差の範囲を小さくしていくと、値を適切に選び直せば必ず$N_1<N_2<N_3<\cdots$というように、それに応じて数列の範囲を後ろへ下げることができます。
これはすなわち、定義を満たす数列$\{a_n\}$の、$α$との誤差がより小さな範囲内にずっと収まり続けるようになるのは、数列のより後ろの部分であるということです。
よってこのことから、数列が収束の定義を満たすことと、数列が収束することの直感的な説明が確かに合致することがわかります。
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