数列とは？ ~ 数学について考えてみる

2025年3月21日

数列とは？

PLUMBAGO

　数列とは、数を一列に並べたものです。
例えば、

1, 2, 3, 4, 5, \dots

$1,2,3,4,5,\cdots$

という自然数を小さい順に並べた数列や

2, - 4, 8, - 16, 32, \dots

$2,-4,8,-16,32,\cdots$

という

2

$2$ に

- 2

$-2$ を掛けた回数の小さい順に並べた数列があります。

数列として並べられたそれぞれの数のことを項といい、先頭の項を第1項あるいは初項、先頭から2番目の項を第2項、3番目の項を第3項、…というように呼び、最後尾の項を末項といいます。
数列の項の個数のことを項数といい、これが有限である数列を有限数列、無限である数列を無限数列といいます。

数列の各項は記号で

a_{n}

$a_n$ のように表します。

a

$a$ は数列そのものを区別するための記号で、添え字の

n

$n$ の値がその項が数列の先頭から何番目の項であるかを表します。
例えば、数列の初項は

a_{1}

$a_1$ 、第5項は

a_{5}

$a_5$ のように書き、初項が

1

$1$ のときは

a_{1} = 1

$a_1=1$ 、第3項が

- 12

$-12$ のときは

a_{3} = - 12

$a_3=-12$ のように書き表します。

任意の数列の項、すなわち任意の自然数

n

$n$ をもちいた

a_{n}

$a_n$ のような項を一般項といいます。
数列の各項から規則性を見出して一般項

a_{n}

$a_n$ を

n

$n$ をもちいた数式で表せることがあります。

例えば、上記の自然数を小さい順に並べた数列の一般項は

a_{n} = n

$a_n=n$ 、

2

$2$ に

- 2

$-2$ を掛けた回数の小さい順に並べた数列の一般項は

b_{n} = 2 \cdot (- 2)^{n - 1}

$b_n=2\cdot(-2)^{n-1}$ と書くことができます。

数列そのものは一般項 $a_n$ をもちいて $\{a_n\}$ と書き表すことがあります。

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