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2025年3月26日

等差数列の和

 初項a、公差dの等差数列の初項から第n項までの和は
n2{2a+(n1)d}
初項aから末項lまでのn個の項の和は
n2(a+l)
で求めることができます。
なぜこれらの式で等差数列の和が求められるのでしょうか?

等差数列の和は、1から100までの自然数の和を求めるときの方法を利用します。
1から100までの自然数を小さい順に足し、その和をSとすると
S=1+2+3++98+99+100
となります。
今度は1から100までの自然数を大きい順に足します。この和もSとなるので
S=100+99+98++3+2+1
と書けます。
これらの式の辺々を加えると
S=1+2+3++98+99+100+)S=100+99+98++3+2+12S=(1+100)+(2+99)+(3+98)++(98+3)+(99+2)+(100+1)=101+101+101++101+101+101
となり、1から100までの自然数の個数は100なので、101の項が100個あることから
2S=101×100
と書けます。これをSについて解くと
2S=10100S=101002=5050
となり、1から100までの自然数の和は5050と求めることができます。

 初項a、公差dの等差数列の一般項は
an=a+(n1)d
と書けます。
したがって、初項から第n項までを順に足していったときの和Sn
(1)Sn=a+(a+d)+(a+2d)++{a+(n3)d}+{a+(n2)d}+{a+(n1)d}
となります。
今度は、第n項から初項までを順に足していくと、この和もSnとなるので
(2)Sn={a+(n1)d}+{a+(n2)d}+{a+(n3)d}++(a+2d)+(a+d)+a
と書けます。
(1)+(2)より
Sn=a+(a+d)+(a+2d)++{a+(n3)d}+{a+(n2)d}+{a+(n1)d}+)Sn={a+(n1)d}+{a+(n2)d}+{a+(n3)d}++(a+2d)+(a+d)+a2Sn={2a+(n1)d}+{2a+(n1)d}+{2a+(n1)d}++{2a+(n1)d}+{2a+(n1)d}+{2a+(n1)d}
となり、初項から第n項までの項数はnなので、2a+(n1)dの項がn個あることから
2Sn={2a+(n1)d}n
と書けます。これをSについて解くと
Sn={2a+(n1)d}n2(*)Sn=n2{2a+(n1)d}
となり、これが等差数列の初項から第n項までの和を表す式となります。
また、第n項を末項lとするとl=a+(n1)dとなるので、これを()に代入すると
Sn=n2[a+{a+(n1)d}]Sn=n2(a+l)
となります。

 ちなみに、初項1、公差1の等差数列は自然数を小さい順に並べた数列であり、その初項から第n項までの和S()a=1,d=1を代入した
S=n2{21+(n1)1}=n2{2+(n1)}S=n(n+1)2
となります。

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