極座標から直交座標への変換　直交座標から極座標への変換 ~ 数学について考えてみる

　極座標から直交座標、直交座標から極座標への変換はどのようにするのでしょうか？

　三角関数の定義を利用してもう一方の座標へ変換します。

三角関数の単位円による定義は、直交座標平面上の原点

O

$O$ を中心とする単位円のx軸の正の部分から反時計回りに

θ

$θ$ の角をなす半径

O P

$OP$ の単位円周上の端点

P

$P$ の座標を

(\cos θ, \sin θ)

$(\cosθ,\sinθ)$ とする、というものです。

さらに、原点

O

$O$ を中心とする半径

r

$r$ （ただし、

r > 0

$r>0$ ）の円のx軸の正の部分から反時計回りに

θ

$θ$ の角をなす半径の円周上の端点

Q

$Q$ の座標

(x, y)

$(x,y)$ について

\begin{matrix} (1) & (x, y) = (r \cos θ, r \sin θ) \end{matrix}

$\begin{equation}(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\end{equation}$

が成り立ちます。

極座標から直交座標への変換

　極座標平面の始線ののびる方向を正とする数直線

A

$A$ と数直線

A

$A$ を原点を中心に反時計回りに

\frac{π}{2}

$\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転させたような数直線

B

$B$ を引きます。それぞれの数直線の単位長さは動径の単位長さに等しく、数直線の

0

$0$ はどちらも交点である原点に位置しています。

数直線

A

$A$ はx軸、数直線

B

$B$ はy軸と対応させることで、

(1)

$(1)$ が成り立ちます。

したがって、極座標が

(r, θ)

$(r,θ)$ である点

P

$P$ の直交座標

(x, y)

$(x,y)$ は

\begin{matrix} (1) & (x, y) = (r \cos θ, r \sin θ) \end{matrix}

$\large(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\tag1$

より求められることがわかります。

これは原点の極座標

(0, θ)

$(0,θ)$ を直交座標に変換するときも

r < 0

$r<0$ のときも成り立ちます。

$(0,θ)$ のとき

(1)

$(1)$ をもちいて直交座標に変換すると

\begin{aligned} (x, y) & = (0 \cos θ, 0 \sin θ) \\ = (0, 0) \end{aligned}

$\begin{align*}(x,y)&=(0\cos\theta,0\sin\theta)\\[0.5em]&=(0,0)\end{align*}$

となるため、

r = 0

$r=0$ のときも

(1)

$(1)$ が成り立つことがわかります。

$r<0$ のとき

r = - r^{'}

$r=-r'$ （ただし、

r^{'} > 0

$r'>0$ ）とおくと極座標の性質より

(r, θ) = (r^{'}, θ + π)

$(r,θ)=(r',θ+\pi)$ なので直交座標は

\begin{matrix} (*) & (x, y) = (r^{'} \cos (θ + π), r^{'} \sin (θ + π)) \end{matrix}

$(x,y)=\bigl(r'\cos(\theta+\pi),r'\sin(\theta+\pi)\bigr)\tag{*}$

となります。

また、

(1)

$(1)$ をもちいて直交座標に変換すると

\begin{aligned} (x, y) & = (r \cos θ, r \sin θ) \\ = (- r^{'} \cos θ, - r^{'} \sin θ) \\ = (r^{'} (- \cos θ), r^{'} (- \sin θ)) \\ = (r^{'} \cos (θ + π), r^{'} \sin (θ + π)) \end{aligned}

$\begin{align*}(x,y)&=(r\cos\theta,r\sin\theta)\\[0.5em]&=(-r'\cos\theta,-r'\sin\theta)\\[0.5em]&=\bigl(r'(-\cos\theta),r'(-\sin\theta)\bigr)\\[0.5em]&=\bigl(r'\cos(\theta+\pi),r'\sin(\theta+\pi)\bigr)\end{align*}$

となり、

(*)

$(*)$ を得るので

r < 0

$r<0$ のときも

(1)

$(1)$ が成り立つことがわかります。

直交座標から極座標への変換

　x軸の正の部分と始線を対応させると、

(1)

$(1)$ の

r

$r$ は極座標の動径座標、

θ

$θ$ は偏角座標に相当します。

動径座標

r

$r$ は原点

O

$O$ から点

Q

$Q$ までの距離でもあるので

\begin{aligned} r & = \sqrt{(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*}r&=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{x^2+y^2}\end{align*}$

より求められます。

点

Q

$Q$ の直交座標より

\begin{aligned} \sin θ & = \frac{y}{r} \\ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \cos θ & = \frac{x}{r} \\ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin\theta&=\frac{y}{r}\\[0.5em]&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\[1em]\cos\theta&=\frac{x}{r}\\[0.5em]&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{align*}$

が成り立つことから、偏角座標

θ

$θ$ は連立方程式

\begin{matrix} (*) & {\begin{cases} \sin θ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \cos θ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{cases} \end{matrix}

$\begin{cases}\sin\theta=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\[1em]\cos\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{cases}\tag{*}$

の解として求められます。

したがって、点

P

$P$ の直交座標

(x, y)

$(x,y)$ を極座標

(r, θ)

$(r,θ)$ に変換するには、

r, θ

$r,θ$ を

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ {\begin{cases} \sin θ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \cos θ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{cases} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation}\begin{aligned}&\large r=\sqrt{x^2+y^2}\\[1em]&\large\begin{cases}\sin\theta=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\[1em]\cos\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{cases}\end{aligned}\end{equation}$

より求めればよいことがわかります。

しかし、

r = 0

$r=0$ となる原点

O

$O$ においては

(*)

$(*)$ の分母が

0

$0$ となってしまい偏角座標

θ

$θ$ が求められないので、場合分けして極座標を

\begin{matrix} (3) & (0, θ) (θ : 任 意 の 実 数) \end{matrix}

$\begin{equation}\large(0,\theta)\qquad(\theta:任意の実数)\end{equation}$

とします。

　また、

(2)

$(2)$ より求められる動径座標の値は

r > 0

$r>0$ に限られます。

r < 0

$r<0$ である極座標に変換するには以下のようにします。

　直交座標が

(x, y)

$(x,y)$ 、極座標が

(r, θ)

$(r,θ)$ （ただし、

r > 0

$r>0$ ）である点

P

$P$ と原点

O

$O$ に関して対称な位置にある点

Q

$Q$ の極座標について考えます。このとき、点

P

$P$ の座標には

(2)

$(2)$ が成り立っています。

点

Q

$Q$ の直交座標を

(x^{'}, y^{'})

$(x',y')$ 、極座標を

(r^{'}, θ)

$(r',θ)$ とおきます。

点

Q

$Q$ は点

P

$P$ と原点

O

$O$ に関して対称な位置にあるので、点

P

$P$ の座標をもちいて

\begin{aligned} (**) & (x^{'}, y^{'}) & = (- x, - y) \\ (***) & (r^{'}, θ^{'}) & = (- r, θ) \end{aligned}

$\begin{align*}(x',y')&=(-x,-y)\tag{**}\\[1em](r',\theta')&=(-r,\theta)\tag{***}\end{align*}$

と表されます。

すると

\begin{aligned} r^{'} & = - r \\ = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ = - \sqrt{(- x^{'})^{2} + (- y^{'})^{2}} & (∵ (* *)) \\ = - \sqrt{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}} & (∵ (- a)^{2} = a^{2}) \\ \sin θ & = \frac{y}{r} \\ = \frac{- y}{- r} \\ = \frac{y^{'}}{r^{'}} & (∵ (* *), (* * *)) \\ = \frac{y^{'}}{- \sqrt{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}}} \\ \cos θ & = \frac{x}{r} \\ = \frac{- x}{- r} \\ = \frac{x^{'}}{r^{'}} & (∵ (* *), (* * *)) \\ = \frac{x^{'}}{- \sqrt{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align*}r'&=-r\\[0.5em]&=-\sqrt{x^2+y^2}\\[0.5em]&=-\sqrt{(-x')^2+(-y')^2}&\bigl(\because(**)\bigr)\\[0.5em]&=-\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}&\bigl(\because (-a)^2=a^2\bigr)\\[1em]\sin\theta&=\frac{y}{r}\\[0.5em]&=\frac{-y}{-r}\\[0.5em]&=\frac{y'}{r'}&\bigl(\because(**),(***)\bigr)\\[0.5em]&=\frac{y'}{-\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}}\\[1em]\cos\theta&=\frac{x}{r}\\[0.5em]&=\frac{-x}{-r}\\[0.5em]&=\frac{x'}{r'}&\bigl(\because(**),(***)\bigr)\\[0.5em]&=\frac{x'}{-\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}}\end{align*}$

が成り立つことがわかります。

したがって、直交座標

(x, y)

$(x,y)$ を

r < 0

$r<0$ である極座標

(r, θ)

$(r,θ)$ に変換するには

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} r = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ {\begin{cases} \sin θ = \frac{y}{- \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \cos θ = \frac{x}{- \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{cases} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation}\begin{aligned}&\large r=-\sqrt{x^2+y^2}\\[1em]&\large\begin{cases}\sin\theta=\dfrac{y}{-\sqrt{x^2+y^2}}\\[1em]\cos\theta=\dfrac{x}{-\sqrt{x^2+y^2}}\end{cases}\end{aligned}\end{equation}$

より求めればよいことがわかります。