平面座標を三角関数をもちいて表す

　直交座標平面上の点$(a,b)$（$a\neq0$または$b\neq0$）は原点からの距離$r$、x軸の正の部分と反時計回りになす角$θ$とすると

$$\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。

　点$(a,b)$を$P$とし、半直線$OP$と単位円との交点$Q$の座標は三角関数の定義にもとづくと$(\cosθ,\sinθ)$と表せるとします。

関連：三角関数の読み方　②単位円の利用

相似を利用する方法

　$a\neq0$かつ$b\neq0$のとき、点$P,Q$それぞれからx軸へおろした垂線の足を$A,B$とすると、直角三角形$OPA$と直角三角形$OQB$ができます。
これら直角三角形は1組の鋭角が等しいので相似であり、直角三角形$OPA$の斜辺$OP$の長さは$r$、直角三角形$OQB$の斜辺$OQ$の長さは$1$であることから、相似比は$OP:OQ=r:1$であることがわかります。

また、$OA:OB=PA:QB=r:1$でもあるので、直角三角形$OPA$の各辺の長さは直角三角形$OQB$の対応する辺の長さの$r$倍であることがわかります。

ここで、辺$OA,PA$の長さはそれぞれ点$P$のx座標、y座標の絶対値、辺$OB,QB$の長さはそれぞれ点$Q$のx座標、y座標の絶対値に等しいので、これら直角三角形の対応する辺の長さの関係は、点$P$は点$Q$よりx軸から$r$倍離れており、点$Q$よりy軸から$r$倍離れていることを意味しています。

したがって、点$P$の座標は点$Q$の座標を$r$倍したものとなるため、点$P$の座標が

$$\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

と表せることがわかります。

これは$a=0$または$b=0$のときも成り立ちます。

分点の座標を利用する方法

　線分$OP,OQ$の長さの比より$PO:OQ=r:1$なので、原点$O$は線分$PQ$を$r:1$に外分する点であることがわかります。

すると、原点$O$の座標において

$$(0,0)=\left(\frac{r\cos\theta-a}{r-1},\frac{r\sin\theta-b}{r-1}\right)$$

が成り立つことがわかります。

関連：座標平面上の分点の座標 ②外分点の座標

原点$O$のx座標より

$$\begin{align*}0&=\frac{r\cos\theta-a}{r-1}\\[0.5em]0&=r\cos\theta-a\\[0.5em]\therefore a&=r\cos\theta\end{align*}$$

原点$O$のy座標より

$$\begin{align*}0&=\frac{r\sin\theta-b}{r-1}\\[0.5em]0&=r\sin\theta-b\\[0.5em]\therefore b&=r\sin\theta\end{align*}$$

したがって、点$P$の座標は

$$\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

と表せることがわかります。

点$P$の三角関数をもちいた座標$(r\cosθ,r\sinθ)$は、点$P$が原点$O$を中心とする半径$r$の円とx軸の正の部分と反時計周りに$θ$の角をなす原点$O$からのびる半直線の交点であることを表しています。

原点$O$から点$P$までの距離$r$は

$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$

より求められます。

線分$OP$のx軸の正の部分と反時計回りになす角$θ$は、点$P$のx座標、y座標より

$$\begin{align*}a&=r\cos\theta\\[0.5em]\therefore\cos\theta&=\frac{a}{r}\\[1em]b&=r\sin\theta\\[0.5em]\therefore\sin\theta&=\frac{b}{r}\end{align*}$$

となることより、連立方程式

$$\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}$$

の解より求められます。

関連：極座標から直交座標への変換　直交座標から極座標への変換