\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。
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相似を利用する方法
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これら直角三角形は1組の鋭角が等しいので相似であり、直角三角形OPAの斜辺OPの長さはr、直角三角形OQBの斜辺OQの長さは1であることから、相似比はOP:OQ=r:1であることがわかります。
また、OA:OB=PA:QB=r:1でもあるので、直角三角形OPAの各辺の長さは直角三角形OQBの対応する辺の長さのr倍であることがわかります。
ここで、辺OA,PAの長さはそれぞれ点Pのx座標、y座標の絶対値、辺OB,QBの長さはそれぞれ点Qのx座標、y座標の絶対値に等しいので、これら直角三角形の対応する辺の長さの関係は、点Pは点Qよりx軸からr倍離れており、点Qよりy軸からr倍離れていることを意味しています。
したがって、点Pの座標は点Qの座標をr倍したものとなるため、点Pの座標が
\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)
と表せることがわかります。これはa=0またはb=0のときも成り立ちます。
分点の座標を利用する方法
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すると、原点Oの座標において
(0,0)=\left(\frac{r\cos\theta-a}{r-1},\frac{r\sin\theta-b}{r-1}\right)
が成り立つことがわかります。
原点Oのx座標より
\begin{align*}0&=\frac{r\cos\theta-a}{r-1}\\[0.5em]0&=r\cos\theta-a\\[0.5em]\therefore
a&=r\cos\theta\end{align*}
原点Oのy座標より
\begin{align*}0&=\frac{r\sin\theta-b}{r-1}\\[0.5em]0&=r\sin\theta-b\\[0.5em]\therefore
b&=r\sin\theta\end{align*}
したがって、点Pの座標は
\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)
と表せることがわかります。
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原点Oから点Pまでの距離rは
r=\sqrt{a^2+b^2}
より求められます。
線分OPのx軸の正の部分と反時計回りになす角θは、点Pのx座標、y座標より
\begin{align*}a&=r\cos\theta\\[0.5em]\therefore\cos\theta&=\frac{a}{r}\\[1em]b&=r\sin\theta\\[0.5em]\therefore\sin\theta&=\frac{b}{r}\end{align*}
となることより、連立方程式
\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}
の解より求められます。
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