底の異なる指数方程式を解く(2)

\[\Large 4\cdot25^x-17\cdot10^x-25\cdot2^{2x+1}=0\]

「上の方程式を解け。」

以前の記事でもちいた2通りの解き方で解いてみます。

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底の異なる指数方程式を解く(1)

「次の方程式を解け。

(1)$2^x=5^x$

(2)$2^{x+1}=5^x$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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csc(x)、sec(x)、cot(x)の微分

　$\csc x,\sec x,\cot x$はそれぞれ$\sin x,\cos x,\tan x$の逆数なので、商の微分

\begin{align*}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[1em]\left\{\frac{1}{f(x)}\right\}'&=-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\end{align*}

を利用して求めます。

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x^n（xの累乗）の微分

$n>0$のとき$x^n\ (n:整数)$を定義に従ってxで微分すると

\[(x^n)'=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\]

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tanの微分いろいろ

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付け足して取り除くという計算テク

　計算テクニックには付け足して取り除くというものがあります。

これを利用したものをいくつか挙げてみます。

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時速を分速に変換するには

　時速を分速に変換するにはどのようにすればよいのでしょうか？

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正四面体の対辺が互いに垂直であることを確かめる

　正四面体の対辺が互いに垂直であることをベクトルを利用して確かめてみます。

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座標平面における回転行列

　座標平面上の点$(x,y)$を原点を中心に角度$φ$だけ回転させる回転行列はどのようになるでしょうか？

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文字式を含む分数の約分

　文字を含む分数の約分はどのようにすればよいでしょうか？

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方程式を解く4つの基本操作

　方程式を解くために使用する基本的な方法にはどのようなものがあるでしょうか？

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正四面体の頂点から対面におろした垂線はどこで交わる？

　正四面体の頂点から対面へ垂線をおろすと対面のどこと交わるでしょうか？

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(e^x)'=e^xであることを確かめるためには

　なぜ$(e^x)'=e^x$が成り立つのでしょうか？

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2次方程式のように解く方程式

　2次方程式ではないですが2次方程式の解き方で解を求めることができる方程式の例を4つ挙げてみました。

「次の方程式を実数の範囲で解け。

(1)$\large\cos^2θ-\cosθ-\dfrac{3}{4}=0\ (0\leqqθ<2\pi)$

(2)$\large(\log_2x)^2-\log_2x^2-3=0$

(3)$\large5^{2x}-5^{x+1}-50=0$

(4)$\large x+2\sqrt{x}-8=0$」

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素因数分解を利用して最大公約数を求める

「$270,300,360$の最大公約数を求めよ。」

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代表的な角度が出てこない三角方程式

\[\sin^2θ-4\sinθ+2=0\]

「$0°\leqqθ<360°$のとき、上の方程式を解け。角度は小数第1位まで書くこと。」

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素因数分解を利用して正の約数の個数・和を求める

「$504$の正の約数の個数を求めよ。」

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素因数分解を利用して最小公倍数を求める

「$63,135,245$の最小公倍数を求めよ。」

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なぜ位置を表す時間の関数x(t)を微分すると速度がわかるのか？

　位置を表す時間の関数$x(t)$はある時点での移動距離を表した関数のことです。

例えば$x(t)=2t$の場合は$t=1[s]$後にはスタート位置から$x(1)=2×1=2[m]$移動している、のようになります。

これを$t$で微分すれば$x'(t)=2[m/s]$となり速度がわかるのですが、なぜ速度が求まるのでしょうか？

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文字を含む分数の逆数を求めるには

　分数の逆数は分子と分母を入れ替えるだけ、という簡単な方法で求めることができます。
しかし、$\dfrac{4}{3}x$のように分数と分子にも分母にも含まれない文字と組み合わさっている数の逆数はどのように求めるのでしょうか？

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合成関数の微分

　合成関数の微分は

\[\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)\]

となりますが、これはなぜなのでしょうか？

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指数不等式を解く

\[\Large 5^{2x+2}-3\cdot5^{x+1}>11\cdot5^x-1\]
「上の不等式を解け。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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指数関数の大小関係、対数関数の大小関係

　指数関数と対数関数の大小関係は、底がどんな値を取るのかで変わります。

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多項式の関数の微分はなぜ項ごとの微分で求まるのか？

　例えば$f(x)=x^3+3x^2-2x+8$をxで微分すると$f'(x)=3x^2+6x-2$となります。
これは

\begin{align*}x^3\ &→\ 3x^2\\[0.5em]3x^2\ &→\ 6x\\[0.5em]-2x\ &→\ -2\\[0.5em]8\ &→\ 0\end{align*}

と項ごとに$x$で微分したものを足し合わせていることがわかります。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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絶対値が2つある1次関数

「$f(x)=|x+3|-|x-2|$であるとき、$x$によって$f(x)$はどのように変化するか？」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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複素数の積・商

　極形式の複素数の積と商は以下のようになります。

\begin{align*}z_1=r_1(\cosα&+i\sinα),z_2=r_2(\cosβ+i\sinβ)のとき\\ z_1z_2&=r_1r_2\{\cos(α+β)+i\sin(α+β)\}\\ \\ \frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(α-β)+i\sin(α-β)\}\end{align*}

なぜこのような式になるのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。

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複素数の極形式

「次の複素数を極形式で表わせ。ただし偏角は$0\leqqθ<2\pi$とする。

(1)$2$

(2)$-3i$

(3)$-2\sqrt{3}+2i$

(4)$5-5i$」

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6つの三角関数を単位円上に表すと？

　三角関数の$\sinθ,\cosθ,\tanθ$は単位円上で表すと以下のようになります。

半径1の単位円の円周とx軸と角度$θ$で交わる原点を通る直線$l$との交点のx座標が$\cosθ$、y座標が$\sinθ$、直線$l$と直線$x=1$との交点のy座標が$\tanθ$となります。

では、あと3つの三角関数$\cscθ,\secθ,\cotθ$は単位円上ではどこに現れるのでしょうか？

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cscθ、secθ、cotθの相互関係

　$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係は

\begin{align*}\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{a}\\[1em]\sin^2\theta+\cos^2\theta&=1\tag{b}\\[1em]1+\tan^2\theta&=\frac{1}{\cos^2\theta}\tag{c}\end{align*}

であるので、これらを使い$\cscθ,\secθ,\cotθ$の相互関係を調べてみます。

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部分分数分解する方法

\begin{equation}\frac{1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}\end{equation}

「上の式が成り立つような$A,B$の値を求めよ。」

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円に内接・外接する正二十角形、正三十角形、正六十角形の周の長さと円周率の関係

　円に内接・外接する正多角形の周の長さを求める公式を作ってみたのでこれを使って正二十角形、正三十角形、正六十角形の周の長さを求めて、円周率との関係を求めてみます。

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