\[\Large 4\cdot25^x-17\cdot10^x-25\cdot2^{2x+1}=0\]
「上の方程式を解け。」
「底の異なる指数方程式を解く(1)」でもちいた2通りの解き方で解いてみます。
1. の方法
\begin{align*}25^x&=\left(5^2\right)^x=5^{2x}=\left(5^x\right)^2\\[0.5em]10^x&=(2\cdot5)^x=2^x\cdot5^x\\[0.5em]2^{2x+1}&=2\cdot2^{2x}=2\cdot\left(2^x\right)^2\end{align*}
となるから
\[4(5^x)^2-17\cdot2^x\cdot5^x-50(2^x)^2=0\]
両辺を$(2^x)^2$で割ると
\begin{align*}4\left(\frac{5^x}{2^x}\right)^2-17\frac{5^x}{2^x}-50&=0\\[0.5em]4\left\{\left(\frac{5}{2}\right)^x\right\}^2-17\left(\frac{5}{2}\right)^x-50&=0\end{align*}
$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=t$とおいて因数分解すると
\begin{align*}4t^2-17t-50&=0\\[0.5em](4t-25)(t+2)&=0\\[0.5em]t=\left(\frac{5}{2}\right)^x&=-2,\frac{25}{4}\end{align*}
ここで、$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x>0$であるから$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=-2$は不適。
したがって、
\begin{align*}\left(\frac{5}{2}\right)^x&=\frac{25}{4}\\[0.5em]&=\left(\frac{5}{2}\right)^2\\[0.5em]x&=2\end{align*}
のように解くことができます。
2. の方法
\[4\left(5^x\right)^2-17\cdot2^x\cdot5^x-50\left(2^x\right)^2=0\]
この式にするまでは同じです。
ここで$5^x=a,2^x=b$とすると、
\[4a^2-17ab-50b^2=0\]
これを因数分解して$a$について解くと
\begin{align*}(4a-25b)(a+2b)&=0\\[0.5em]a&=-2b,\frac{25}{4}b\end{align*}
$a=5^x>0,b=2^x>0$であるから$a=-2b<0$となるため不適。
したがって、
\begin{align*}5^x&=\frac{25}{4}\cdot2^x\\[0.5em]4\cdot5^x&=25\cdot2^x\\[0.5em]2^2\cdot5^x&=5^2\cdot2^x\end{align*}
ここで$5=2^{\log_2 5}$とすると
\begin{align*}2^2\cdot\left(2^{\log_2 5}\right)^x&=\left(2^{\log_2
5}\right)^2\cdot2^x\\[0.5em]2^{2+x\log_2 5}&=2^{2\log_2 5
+x}\\[0.5em]2+x\log_2 5&=2\log_2 5 +x\\[0.5em](\log_2 5
-1)x&=2\log_2 5 -2\\[0.5em]&=2(\log_2 5
-1)\\[0.5em]x&=2\end{align*}
となります。
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