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2022年4月30日

底の異なる指数方程式を解く(2)

425x1710x2522x+1=0425x1710x2522x+1=0
「上の方程式を解け。」

底の異なる指数方程式を解く(1)」でもちいた2通りの解き方で解いてみます。


1. の方法

25x=(52)x=52x=(5x)210x=(25)x=2x5x22x+1=222x=2(2x)2
となるから
4(5x)2172x5x50(2x)2=0
両辺を(2x)2で割ると
4(5x2x)2175x2x50=04{(52)x}217(52)x50=0
(52)x=tとおいて因数分解すると
4t217t50=0(4t25)(t+2)=0t=(52)x=2,254
ここで、(52)x>0であるから(52)x=2は不適。
したがって、
(52)x=254=(52)2x=2
のように解くことができます。

2. の方法

4(5x)2172x5x50(2x)2=0
この式にするまでは同じです。
ここで5x=a,2x=bとすると、
4a217ab50b2=0
これを因数分解してaについて解くと
(4a25b)(a+2b)=0a=2b,254b
a=5x>0,b=2x>0であるからa=2b<0となるため不適。
したがって、
5x=2542x45x=252x225x=522x
ここで5=2log25とすると
22(2log25)x=(2log25)22x22+xlog25=22log25+x2+xlog25=2log25+x(log251)x=2log252=2(log251)x=2
となります。

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