底の異なる指数方程式を解く(2) ~ 数学について考えてみる

2022年4月30日

底の異なる指数方程式を解く(2)

PLUMBAGO

4 \cdot 25^{x} - 17 \cdot 10^{x} - 25 \cdot 2^{2 x + 1} = 0

$\Large 4\cdot25^x-17\cdot10^x-25\cdot2^{2x+1}=0$

「上の方程式を解け。」

「底の異なる指数方程式を解く(1)」でもちいた2通りの解き方で解いてみます。

1. の方法

\begin{aligned} 25^{x} & = {(5^{2})}^{x} = 5^{2 x} = {(5^{x})}^{2} \\ 10^{x} & = (2 \cdot 5)^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x} \\ 2^{2 x + 1} & = 2 \cdot 2^{2 x} = 2 \cdot {(2^{x})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align*}25^x&=\left(5^2\right)^x=5^{2x}=\left(5^x\right)^2\\[0.5em]10^x&=(2\cdot5)^x=2^x\cdot5^x\\[0.5em]2^{2x+1}&=2\cdot2^{2x}=2\cdot\left(2^x\right)^2\end{align*}$

となるから

4 (5^{x})^{2} - 17 \cdot 2^{x} \cdot 5^{x} - 50 (2^{x})^{2} = 0

$4(5^x)^2-17\cdot2^x\cdot5^x-50(2^x)^2=0$

両辺を

(2^{x})^{2}

$(2^x)^2$ で割ると

\begin{aligned} 4 {(\frac{5^{x}}{2^{x}})}^{2} - 17 \frac{5^{x}}{2^{x}} - 50 & = 0 \\ 4 {{(\frac{5}{2})}^{x}}^{2} - 17 {(\frac{5}{2})}^{x} - 50 & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*}4\left(\frac{5^x}{2^x}\right)^2-17\frac{5^x}{2^x}-50&=0\\[0.5em]4\left\{\left(\frac{5}{2}\right)^x\right\}^2-17\left(\frac{5}{2}\right)^x-50&=0\end{align*}$

{(\frac{5}{2})}^{x} = t

$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=t$ とおいて因数分解すると

\begin{aligned} 4 t^{2} - 17 t - 50 & = 0 \\ (4 t - 25) (t + 2) & = 0 \\ t = {(\frac{5}{2})}^{x} & = - 2, \frac{25}{4} \end{aligned}

$\begin{align*}4t^2-17t-50&=0\\[0.5em](4t-25)(t+2)&=0\\[0.5em]t=\left(\frac{5}{2}\right)^x&=-2,\frac{25}{4}\end{align*}$

ここで、

{(\frac{5}{2})}^{x} > 0

$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x>0$ であるから

{(\frac{5}{2})}^{x} = - 2

$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=-2$ は不適。

したがって、

\begin{aligned} {(\frac{5}{2})}^{x} & = \frac{25}{4} \\ = {(\frac{5}{2})}^{2} \\ x & = 2 \end{aligned}

$\begin{align*}\left(\frac{5}{2}\right)^x&=\frac{25}{4}\\[0.5em]&=\left(\frac{5}{2}\right)^2\\[0.5em]x&=2\end{align*}$

のように解くことができます。

2. の方法

4 {(5^{x})}^{2} - 17 \cdot 2^{x} \cdot 5^{x} - 50 {(2^{x})}^{2} = 0

$4\left(5^x\right)^2-17\cdot2^x\cdot5^x-50\left(2^x\right)^2=0$

この式にするまでは同じです。

ここで

5^{x} = a, 2^{x} = b

$5^x=a,2^x=b$ とすると、

4 a^{2} - 17 a b - 50 b^{2} = 0

$4a^2-17ab-50b^2=0$

これを因数分解して

a

$a$ について解くと

\begin{aligned} (4 a - 25 b) (a + 2 b) & = 0 \\ a & = - 2 b, \frac{25}{4} b \end{aligned}

$\begin{align*}(4a-25b)(a+2b)&=0\\[0.5em]a&=-2b,\frac{25}{4}b\end{align*}$

a = 5^{x} > 0, b = 2^{x} > 0

$a=5^x>0,b=2^x>0$ であるから

a = - 2 b < 0

$a=-2b<0$ となるため不適。

したがって、

\begin{aligned} 5^{x} & = \frac{25}{4} \cdot 2^{x} \\ 4 \cdot 5^{x} & = 25 \cdot 2^{x} \\ 2^{2} \cdot 5^{x} & = 5^{2} \cdot 2^{x} \end{aligned}

$\begin{align*}5^x&=\frac{25}{4}\cdot2^x\\[0.5em]4\cdot5^x&=25\cdot2^x\\[0.5em]2^2\cdot5^x&=5^2\cdot2^x\end{align*}$

ここで

5 = 2^{\log_{2} 5}

$5=2^{\log_2 5}$ とすると

\begin{aligned} 2^{2} \cdot {(2^{\log_{2} 5})}^{x} & = {(2^{\log_{2} 5})}^{2} \cdot 2^{x} \\ 2^{2 + x \log_{2} 5} & = 2^{2 \log_{2} 5 + x} \\ 2 + x \log_{2} 5 & = 2 \log_{2} 5 + x \\ (\log_{2} 5 - 1) x & = 2 \log_{2} 5 - 2 \\ = 2 (\log_{2} 5 - 1) \\ x & = 2 \end{aligned}

$\begin{align*}2^2\cdot\left(2^{\log_2 5}\right)^x&=\left(2^{\log_2 5}\right)^2\cdot2^x\\[0.5em]2^{2+x\log_2 5}&=2^{2\log_2 5 +x}\\[0.5em]2+x\log_2 5&=2\log_2 5 +x\\[0.5em](\log_2 5 -1)x&=2\log_2 5 -2\\[0.5em]&=2(\log_2 5 -1)\\[0.5em]x&=2\end{align*}$

となります。