4⋅25x−17⋅10x−25⋅22x+1=04⋅25x−17⋅10x−25⋅22x+1=0
「上の方程式を解け。」
「底の異なる指数方程式を解く(1)」でもちいた2通りの解き方で解いてみます。
1. の方法
25x=(52)x=52x=(5x)210x=(2⋅5)x=2x⋅5x22x+1=2⋅22x=2⋅(2x)2
となるから
4(5x)2−17⋅2x⋅5x−50(2x)2=0
両辺を(2x)2で割ると
4(5x2x)2−175x2x−50=04{(52)x}2−17(52)x−50=0
(52)x=tとおいて因数分解すると
4t2−17t−50=0(4t−25)(t+2)=0t=(52)x=−2,254
ここで、(52)x>0であるから(52)x=−2は不適。
したがって、
(52)x=254=(52)2x=2
のように解くことができます。
2. の方法
4(5x)2−17⋅2x⋅5x−50(2x)2=0
この式にするまでは同じです。
ここで5x=a,2x=bとすると、
4a2−17ab−50b2=0
これを因数分解してaについて解くと
(4a−25b)(a+2b)=0a=−2b,254b
a=5x>0,b=2x>0であるからa=−2b<0となるため不適。
したがって、
5x=254⋅2x4⋅5x=25⋅2x22⋅5x=52⋅2x
ここで5=2log25とすると
22⋅(2log25)x=(2log25)2⋅2x22+xlog25=22log25+x2+xlog25=2log25+x(log25−1)x=2log25−2=2(log25−1)x=2
となります。
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