文字を含む分数の逆数を求めるには ~ 数学について考えてみる

2022年4月12日

文字を含む分数の逆数を求めるには

PLUMBAGO

　分数の逆数は分子と分母を入れ替えるだけ、という簡単な方法で求めることができます。
しかし、 $\dfrac{4}{3}x$ のように分数と分子にも分母にも含まれない文字と組み合わさっている数の逆数はどのように求めるのでしょうか？

\frac{4}{3} x = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot x

$\frac{4}{3}x=4\cdot\frac{1}{3}\cdot x$

のように因数分解できることを考えると各因数の逆数は

\begin{matrix} 4 & \to \frac{1}{4} \frac{1}{3} & \to 3 x & \to \frac{1}{x} \end{matrix}

$\begin{align*}4\ &\rightarrow\ \frac{1}{4}\\[1em]\frac{1}{3}\ &\rightarrow\ 3\\[1em]x\ &\rightarrow\ \frac{1}{x}\end{align*}$

となります。

元の数と各因数の逆数を掛けると

\begin{matrix} \frac{4}{3} x \cdot \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot \frac{1}{x} = & (4 \cdot \frac{1}{3} \cdot x) \cdot \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot \frac{1}{x} = & (4 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3) \cdot (x \cdot \frac{1}{x}) = & 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{matrix}

$\begin{align*}&\frac{4}{3}x\cdot\frac{1}{4}\cdot3\cdot\frac{1}{x}\\[0.5em]=&\left(4\cdot\frac{1}{3}\cdot x\right)\cdot\frac{1}{4}\cdot3\cdot\frac{1}{x}\\[0.5em]=&\left(4\cdot\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\cdot3\right)\cdot\left(x\cdot\frac{1}{x}\right)\\[0.5em]=&1\cdot1\cdot1=1\end{align*}$

となるので、