分数の逆数は分子と分母を入れ替えるだけ、という簡単な方法で求めることができます。
しかし、$\dfrac{4}{3}x$のように分数と分子にも分母にも含まれない文字と組み合わさっている数の逆数はどのように求めるのでしょうか？
\[\frac{4}{3}x=4\cdot\frac{1}{3}\cdot x\]
のように因数分解できることを考えると各因数の逆数は
\begin{align*}4\ &\rightarrow\ \frac{1}{4}\\[1em]\frac{1}{3}\
&\rightarrow\ 3\\[1em]x\ &\rightarrow\ \frac{1}{x}\end{align*}
となります。
元の数と各因数の逆数を掛けると
\begin{align*}&\frac{4}{3}x\cdot\frac{1}{4}\cdot3\cdot\frac{1}{x}\\[0.5em]=&\left(4\cdot\frac{1}{3}\cdot
x\right)\cdot\frac{1}{4}\cdot3\cdot\frac{1}{x}\\[0.5em]=&\left(4\cdot\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\cdot3\right)\cdot\left(x\cdot\frac{1}{x}\right)\\[0.5em]=&1\cdot1\cdot1=1\end{align*}
となるので、$\dfrac{4}{3}x$の逆数は各因数の逆数の積
\[\frac{1}{4}\cdot3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{4x}\]
であることがわかります。
また、$\dfrac{4}{3}x$を因数分解して
\[\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}\cdot x\]
と書け、分数の掛け算に従えば$\dfrac{4x}{3}$と書けることからも、逆数が分子と分母を入れ替えた形の$\dfrac{3}{4x}$であることがわかります。
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