\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)
微分の定義式を考えると、f(x)をxで微分するとは
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
xで微分することを明確にして、平均変化率で求めることを意識すれば
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}
となります。
これをもとに合成関数の微分について考えます。
合成関数f(g(x))はxの関数…ではなくg(x)の関数なので、f(g(x))をg(x)で微分することは
\begin{equation}\frac{df(g(x))}{dg(x)}=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x)+h)-f(g(x))}{\{g(x)+h\}-g(x)}\end{equation}
と書けます。
ここで変化量hについて考えます。
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}
においてはxの変化量を指しますが、(1)においてはg(x)の変化量を指します。
g(x)+h\quad\rightarrow\ g(x+h)
と置き換えることができます。したがって、
\begin{equation}\frac{df(g(x))}{dg(x)}=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\end{equation}
となります。
次にg(x)をxで微分することは
\begin{equation}\frac{dg(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}\end{equation}
と書けます。
(2)と(3)を掛けると
\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}
となります。
ここで(2)、(3)が極限値をもつ、すなわち微分可能であるならば
\begin{align*}\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}&=\lim_{h\to0}\left\{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}\right\}\\ \\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{(x+h)-x}&...(4)\end{align*}
となり、これはf(g(x))=F(x)とおけば
\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{(x+h)-x}
となるためF(x)、すなわちf(g(x))をxで微分、すなわち\{f(g(x))\}'であることを意味します。
(2)、(3)はそれぞれ
\frac{df(g(x))}{dg(x)}=f'(g(x)),\ \frac{dg(x)}{dx}=g'(x)
と書けるので(4)は
\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)
となることがわかります。
ただしg(x)が定数関数などg(x+h)-g(x)=0となるような関数の場合、分母が0になってしまい(2)の不定形が解消できないため極限値を持つかが不明になります。すると(4)が示せなくなるため合成関数f(g(x))の微分ができるかわからなくなってしまいます。
※微分の定義式も不定形になりますが、分母がhであるため解消できます。
なので、上記だけでは合成関数の微分の説明が十分にできません。
一例として定数関数g(x)=c\ (c:定数)の場合微分できることを確かめてみます。
g(x)=cのとき、
f(g(x)=f(c)=k\ (k:定数)
となるので、微分の定義にしたがってxで微分すると
\begin{align*}\{f(g(x)\}'&=\lim_{h\to0}\frac{k-k}{h}\\ \\ &=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}\\ \\ &=\lim_{h\to0}0=0\end{align*}
となり、この場合合成関数は微分できることがわかります。
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