合成関数の微分 ~ 数学について考えてみる

2022年4月11日

合成関数の微分

PLUMBAGO

　合成関数の微分は

{f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

$\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)$

となりますが、これはなぜなのでしょうか？

　微分の定義式を考えると、

f (x)

$f(x)$ を

x

$x$ で微分するとは

f^{'} (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

x

$x$ で微分することを明確にして、平均変化率で求めることを意識すれば

\frac{d f (x)}{d x} = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{(x + h) - x}

$\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$

となります。

　これをもとに合成関数の微分について考えます。

　合成関数

f (g (x))

$f(g(x))$ は

x

$x$ の関数…ではなく

g (x)

$g(x)$ の関数なので、

f (g (x))

$f(g(x))$ を

g (x)

$g(x)$ で微分することは

$\begin{equation}\frac{df(g(x))}{dg(x)}=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x)+h)-f(g(x))}{\{g(x)+h\}-g(x)}\end{equation}$

と書けます。

ここで変化量 $h$ について考えます。
$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$
においては $x$ の変化量を指しますが、(1)においては $g(x)$ の変化量を指します。

そして

$g(x)$ が

$x$ の関数であることを考えると

$g(x)$ の変化量

$h$ とは

$x$ が変化した結果であると考えられるので

$g(x)+h\quad\rightarrow\ g(x+h)$
と置き換えることができます。したがって、

$\begin{equation}\frac{df(g(x))}{dg(x)}=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\end{equation}$
となります。

　次に

$g(x)$ を

$x$ で微分することは

$\begin{equation}\frac{dg(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}\end{equation}$

と書けます。

(2)と(3)を掛けると

$\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}$

となります。

ここで(2)、(3)が極限値をもつ、すなわち微分可能であるならば
$\begin{align*}\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}&=\lim_{h\to0}\left\{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}\right\}\\ \\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{(x+h)-x}&...(4)\end{align*}$
となり、これは $f(g(x))=F(x)$ とおけば
$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{(x+h)-x}$
となるため $F(x)$ 、すなわち $f(g(x))$ を $x$ で微分、すなわち $\{f(g(x))\}'$ であることを意味します。