n>0n>0のときxn (n:整数)xn (n:整数)を定義に従ってxで微分すると
(xn)′=limh→0(x+h)n−xnh(xn)′=limh→0(x+h)n−xnh
(x+h)n(x+h)nを展開すると二項定理より
(xn)′=limh→0(xn+nC1xn−1h+nC2xn−2h2+…+nCn−1xhn−1+hn)−xnh=limh→0nC1xn−1h+nC2xn−2h2+…+nCn−1xhn−1+hnh=limh→0(nC1xn−1+nC2xn−2h+…+nCn−1xhn−2+hn−1)(xn)′=limh→0(xn+nC1xn−1h+nC2xn−2h2+…+nCn−1xhn−1+hn)−xnh=limh→0nC1xn−1h+nC2xn−2h2+…+nCn−1xhn−1+hnh=limh→0(nC1xn−1+nC2xn−2h+…+nCn−1xhn−2+hn−1)
nC1xn−1nC1xn−1以外の項はhhがついているので
(xn)′=nC1xn−1=nxn−1(xn)′=nC1xn−1=nxn−1
となります。
n<0n<0のときn=−m (m:整数)n=−m (m:整数)とすればm>0m>0となり
xn=x−m=1xmxn=x−m=1xm
であるので、商の微分{1f(x)}′=−f′(x){f(x)}2{1f(x)}′=−f′(x){f(x)}2より
(xn)′={1xm}′=−(xm)′(xm)2=−mxm−1x2m=−mx(m−1)−2m=−mx−m−1=nxn−1(xn)′={1xm}′=−(xm)′(xm)2=−mxm−1x2m=−mx(m−1)−2m=−mx−m−1=nxn−1
となります。
n=0,x≠0n=0,x≠0のときxn=1xn=1なので、
(xn)′=(1)′=0(xn)′=(1)′=0
となります。
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