\[(x^n)'=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\]
$(x+h)^n$を展開すると二項定理より
\begin{align*}(x^n)'&=\lim_{h\to0}\frac{(x^n+{_nC_1}x^{n-1}h+{_nC_2}x^{n-2}h^2+\ldots+{_nC_{n-1}}xh^{n-1}+h^n)-x^n}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{{_nC_1}x^{n-1}h+{_nC_2}x^{n-2}h^2+\ldots+{_nC_{n-1}}xh^{n-1}+h^n}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}({_nC_1}x^{n-1}+{_nC_2}x^{n-2}h+\ldots+{_nC_{n-1}}xh^{n-2}+h^{n-1})\end{align*}
${_nC_1}x^{n-1}$以外の項は$h$がついているので
\begin{align*}(x^n)'&={_nC_1}x^{n-1}\\[0.5em]&=nx^{n-1}\end{align*}
となります。
$n<0$のとき$n=-m\ (m:整数)$とすれば$m>0$となり
\[x^n=x^{-m}=\frac{1}{x^m}\]
であるので、商の微分$\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}'=-\dfrac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}$より
\begin{align*}(x^n)'&=\left\{\frac{1}{x^m}\right\}'\\[0.5em]&=-\frac{(x^m)'}{(x^m)^2}\\[0.5em]&=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}\\[0.5em]&=-mx^{(m-1)-2m}\\[0.5em]&=-mx^{-m-1}\\[0.5em]&=nx^{n-1}\end{align*}
となります。
$n=0,x\neq0$のとき$x^n=1$なので、
\[(x^n)'=(1)'=0\]
となります。
$n$が無理数を含む任意の実数である場合は以下に紹介する動画のようになります。
リンク：x^πを微分せよ - YouTube
画像：StartupStockPhotosによるPixabayからの画像
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