x^n（xの累乗）の微分

$n>0$のとき$x^n\ (n:整数)$を定義に従ってxで微分すると

$$(x^n)'=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$

$(x+h)^n$を展開すると二項定理より

$$\begin{align*}(x^n)'&=\lim_{h\to0}\frac{(x^n+{_nC_1}x^{n-1}h+{_nC_2}x^{n-2}h^2+\ldots+{_nC_{n-1}}xh^{n-1}+h^n)-x^n}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{{_nC_1}x^{n-1}h+{_nC_2}x^{n-2}h^2+\ldots+{_nC_{n-1}}xh^{n-1}+h^n}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}({_nC_1}x^{n-1}+{_nC_2}x^{n-2}h+\ldots+{_nC_{n-1}}xh^{n-2}+h^{n-1})\end{align*}$$

${_nC_1}x^{n-1}$以外の項は$h$がついているので

$$\begin{align*}(x^n)'&={_nC_1}x^{n-1}\\[0.5em]&=nx^{n-1}\end{align*}$$

となります。

　$n<0$のとき$n=-m\ (m:整数)$とすれば$m>0$となり

$$x^n=x^{-m}=\frac{1}{x^m}$$

であるので、商の微分$\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}'=-\dfrac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}$より

$$\begin{align*}(x^n)'&=\left\{\frac{1}{x^m}\right\}'\\[0.5em]&=-\frac{(x^m)'}{(x^m)^2}\\[0.5em]&=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}\\[0.5em]&=-mx^{(m-1)-2m}\\[0.5em]&=-mx^{-m-1}\\[0.5em]&=nx^{n-1}\end{align*}$$

となります。

　$n=0,x\neq0$のとき$x^n=1$なので、

$$(x^n)'=(1)'=0$$

となります。

$n$が無理数を含む任意の実数である場合は以下に紹介する動画のようになります。
リンク：x^πを微分せよ - YouTube

画像：StartupStockPhotosによるPixabayからの画像