$\tan x$の微分
$\tan x$は三角関数の相互関係
\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]
より
\[(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'\]
と書けます。
ここで、商の微分
\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\]
より、
\begin{align*}(\tan x)'&=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos
x)'}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x(-\sin
x)}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{1}{\cos^2x}\end{align*}
となります。
$\tan(g(x))$の微分
$\tan(g(x))$は$f(u)=\tan u$と$u=g(x)$の合成関数なので、その微分は
\[\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)\]
を利用して
\begin{align*}\{\tan(g(x))\}'&=\frac{1}{\cos^2(g(x))}\cdot
g'(x)\\[0.5em]&=\frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}\end{align*}
となります。
例：
$g(x)=ax+b$（$a,b:$定数）のとき
\begin{align*}\{\tan(ax+b)\}'&=\frac{(ax+b)'}{\cos^2(ax+b)}\\[0.5em]&=\frac{a}{\cos^2(ax+b)}\end{align*}
$g(x)=\cos x$のとき
\begin{align*}\{\tan(\cos x)\}'&=\frac{(\cos x)'}{\cos^2(\cos
x)}\\[0.5em]&=-\frac{\sin x}{\cos^2(\cos x)}&(\because(\cos
x)'=-\sin x)\end{align*}
$f(\tan x)$の微分
$f(\tan x)$は、$f(u)$と$u=\tan
x$の合成関数なので、その微分は上記と同様に
\begin{align*}\{f(\tan x)\}'&=f'(\tan x)\cdot
\frac{1}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{f'(\tan x)}{\cos^2x}\end{align*}
となります。
例：
$f(x)=x^2$のとき
\begin{align*}\{\tan^2x\}'&=\frac{2\tan
x}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{2\sin x}{\cos^3x}\end{align*}
$f(x)=e^x$のとき
\[\{e^{\tan x}\}'=\frac{e^{\tan x}}{\cos^2x}\]
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