tanの微分いろいろ

$\tan x$の微分

　$\tan x$は三角関数の相互関係

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

より

$$(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'$$

と書けます。

関連：三角関数$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係

ここで、商の微分

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

より、

$$\begin{align*}(\tan x)'&=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{1}{\cos^2x}\end{align*}$$

となります。

$\tan(g(x))$の微分

　$\tan(g(x))$は$f(u)=\tan u$と$u=g(x)$の合成関数なので、その微分は

$$\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)$$

を利用して

$$\begin{align*}\{\tan(g(x))\}'&=\frac{1}{\cos^2(g(x))}\cdot g'(x)\\[0.5em]&=\frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}\end{align*}$$

となります。

例：

$g(x)=ax+b$（$a,b:$定数）のとき

$$\begin{align*}\{\tan(ax+b)\}'&=\frac{(ax+b)'}{\cos^2(ax+b)}\\[0.5em]&=\frac{a}{\cos^2(ax+b)}\end{align*}$$

$g(x)=\cos x$のとき

$$\begin{align*}\{\tan(\cos x)\}'&=\frac{(\cos x)'}{\cos^2(\cos x)}\\[0.5em]&=-\frac{\sin x}{\cos^2(\cos x)}&(\because(\cos x)'=-\sin x)\end{align*}$$

$f(\tan x)$の微分

　$f(\tan x)$は、$f(u)$と$u=\tan x$の合成関数なので、その微分は上記と同様に

$$\begin{align*}\{f(\tan x)\}'&=f'(\tan x)\cdot \frac{1}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{f'(\tan x)}{\cos^2x}\end{align*}$$

となります。

例：

$f(x)=x^2$のとき

$$\begin{align*}\{\tan^2x\}'&=\frac{2\tan x}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{2\sin x}{\cos^3x}\end{align*}$$

$f(x)=e^x$のとき

$$\{e^{\tan x}\}'=\frac{e^{\tan x}}{\cos^2x}$$

関連：合成関数の微分