「$63,135,245$の最小公倍数を求めよ。」
公倍数とは、ある2つの整数$A,B$の倍数の中で共通して出てくる数のことです。そして最小公倍数は公倍数のうち、最も小さい数のことです。
最小公倍数は素因数分解を利用して求めることができます。
例えば、$3$と$4$を素因数分解すると
両者を比較すると$3$のほうには$2^2$、すなわち$2$が2つ、$4$のほうには$3$がありません。なのでそれぞれに足りないものを掛けると
$3$のほうは
\[3×2^2=12\]
$4$のほうは
\[2^2×3=12\]
となり、これが最小公倍数となります。
このように互いの素因数に足りないものを最低限補い合ってできる数が最小公倍数です。
\begin{align*}3&=3\\[1em]4&=2^2\end{align*}
となります。両者を比較すると$3$のほうには$2^2$、すなわち$2$が2つ、$4$のほうには$3$がありません。なのでそれぞれに足りないものを掛けると
$3$のほうは
\[3×2^2=12\]
$4$のほうは
\[2^2×3=12\]
となり、これが最小公倍数となります。
このように互いの素因数に足りないものを最低限補い合ってできる数が最小公倍数です。
また、見方を変えるとそれぞれに含まれる素因数を最大数分掛け合わせてできる数と捉えることもできます。
$3$と$4$それぞれが含む素因数とその最大数は$2$が2個、$3$が1個です。
したがって最小公倍数は
\[2^2×3^1=12\]
となります。
これを利用して問題を解くと
$63$を素因数分解すると
\[63=3^2×7\]
$135$を素因数分解すると
\[135=3^3×5\]
$245$を素因数分解すると
\[245=5×7^2\]
$63,135,245$で出てくる素因数と最大数は$3$が3個、$5$が1個、$7$が2個なので求める最小公倍数は
\[3^3×5×7^2=6615\]
であるとわかります。
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