複素数の極形式 ~ 数学について考えてみる

2022年4月7日

複素数の極形式

PLUMBAGO

「次の複素数を極形式で表わせ。ただし偏角は

0 ≦ θ < 2 π

$0\leqqθ<2\pi$ とする。

(1) $2$

(2) $-3i$

(3) $-2\sqrt{3}+2i$

(4)

5 - 5 i

$5-5i$ 」

　複素数の直交形式

a + b i

$a+bi$ は互いに垂直な実軸と虚軸をもとに複素数を表すもので、直交座標に似ています。

対して極形式

r (\cos θ + i \sin θ)

$r(\cosθ+i\sinθ)$ は原点を中心とする円と始線と動径のなす角がもとになっていて、円の半径（大きさ）

r

$r$ と始線と動径のなす角（偏角）

θ

$θ$ によって複素数を表します。

直交形式と極形式の関係は

a + b i = r \cos θ + i r \sin θ = r (\cos θ + i \sin θ)

$a+bi=r\cosθ+ir\sinθ=r(\cosθ+i\sinθ)$

であるので、

\begin{aligned} r & = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ \cos θ & = \frac{a}{r} \\ \sin θ & = \frac{b}{r} \end{aligned}

$\begin{align*}r&=\sqrt{a^2+b^2}\\ \\ \cosθ&=\frac{a}{r}\\ \\ \sinθ&=\frac{b}{r}\end{align*}$

となるような

r, θ

$r,θ$ を求めて極形式に直します。

(1)

2

$2$ の大きさは

r = 2

$r=2$ です。

虚部がわかるように書くと

2 + 0 i

$2+0i$ なので

\begin{aligned} {\begin{aligned} \cos θ & = \frac{2}{2} = 1 & . . . (i) \\ \sin θ & = \frac{0}{2} = 0 & . . . (i i) \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{2}{2}=1&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{0}{2}=0&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}$

となるような

θ

$θ$ は

θ = 0

$θ=0$ です。

したがって、 $2=2(\cos0+i\sin0)$ となります。

複素平面上では上図のようになります。

(2)

- 3 i

$-3i$ の大きさは

r = 3

$r=3$ です。

実部がわかるように書くと

0 - 3 i

$0-3i$ なので

\begin{aligned} {\begin{aligned} \cos θ & = \frac{0}{3} = 0 & . . . (i) \\ \sin θ & = \frac{- 3}{3} = - 1 & . . . (i i) \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{0}{3}=0&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{-3}{3}=-1&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}$

となるような

θ

$θ$ を求めます。

(i)を解くと

θ = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π

$θ=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi$ 、(ii)を解くと

θ = \frac{3}{2} π

$θ=\dfrac{3}{2}\pi$ なので(i)かつ(ii)を満たすのは

θ = \frac{3}{2} π

$θ=\dfrac{3}{2}\pi$ です。

したがって、 $-3i=3\left(\cos\frac{3}{2}\pi+i\sin\frac{3}{2}\pi\right)$ となります。

複素平面上では上図のようになります。

(3)

- 2 \sqrt{3} + 2 i

$-2\sqrt{3}+2i$ の大きさは実部と虚部を抜き出して

r = \sqrt{(- 2 \sqrt{3})^{2} + 2^{2}} = 4

$r=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+2^2}=4$

です。

\begin{aligned} {\begin{aligned} \cos θ & = \frac{- 2 \sqrt{3}}{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} & . . . (i) \\ \sin θ & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} & . . . (i i) \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}$

となるような

θ

$θ$ は、(i)を解くと

θ = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}

$θ=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$ 、(ii)を解くと

θ = \frac{π}{6}, \frac{5}{6} π

$θ=\frac{\pi}{6},\frac{5}{6}\pi$ なので、(i)かつ(ii)を満たすのは

θ = \frac{5}{6} π

$θ=\frac{5}{6}\pi$ です。

したがって、 $-2\sqrt{3}+2i=4\left(\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi\right)$ となります。

複素平面上では上図のようになります。

(4)

5 - 5 i

$5-5i$ の大きさは

r = \sqrt{5^{2} + (- 5)^{2}} = 5 \sqrt{2}

$r=\sqrt{5^2+(-5)^2}=5\sqrt{2}$

です。

\begin{aligned} {\begin{aligned} \cos θ & = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} & . . . (i) \\ \sin θ & = \frac{- 5}{5 \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} & . . . (i i) \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}$

となるような