(1)2
(2)-3i
(3)-2\sqrt{3}+2i
(4)5-5i」直交形式と極形式の関係は
a+bi=r\cosθ+ir\sinθ=r(\cosθ+i\sinθ)
であるので、
\begin{align*}r&=\sqrt{a^2+b^2}\\ \\ \cosθ&=\frac{a}{r}\\ \\ \sinθ&=\frac{b}{r}\end{align*}
となるようなr,θを求めて極形式に直します。
(1)
2の大きさはr=2です。
虚部がわかるように書くと2+0iなので
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{2}{2}=1&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{0}{2}=0&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθはθ=0です。
したがって、2=2(\cos0+i\sin0)となります。
(2)
-3iの大きさはr=3です。
実部がわかるように書くと0-3iなので
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{0}{3}=0&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{-3}{3}=-1&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθを求めます。
(i)を解くとθ=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi、(ii)を解くとθ=\dfrac{3}{2}\piなので(i)かつ(ii)を満たすのはθ=\dfrac{3}{2}\piです。
したがって、-3i=3\left(\cos\frac{3}{2}\pi+i\sin\frac{3}{2}\pi\right)となります。
(3)
-2\sqrt{3}+2iの大きさは実部と虚部を抜き出して
r=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+2^2}=4
です。
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθは、(i)を解くとθ=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}、(ii)を解くとθ=\frac{\pi}{6},\frac{5}{6}\piなので、(i)かつ(ii)を満たすのはθ=\frac{5}{6}\piです。
したがって、-2\sqrt{3}+2i=4\left(\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi\right)となります。
(4)
5-5iの大きさは
r=\sqrt{5^2+(-5)^2}=5\sqrt{2}
です。
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθは、(i)を解くとθ=\frac{\pi}{4},\frac{7}{4}\pi、(ii)を解くとθ=\frac{5}{4}\pi,\frac{7}{4}\piなので、(i)かつ(ii)を満たすのはθ=\frac{7}{4}\piです。
したがって、5-5i=5\sqrt{2}\left(\cos\frac{7}{4}\pi+i\sin\frac{7}{4}\pi\right)となります。
複素平面上で複素数がどこに位置するかを描いておけば偏角θの絞り込みが容易になります。
Share: