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2022年4月7日

複素数の極形式

「次の複素数を極形式で表わせ。ただし偏角は0θ<2π0θ<2πとする。

(1)22

(2)3i3i

(3)23+2i23+2i

(4)55i55i


 複素数の直交形式a+bia+biは互いに垂直な実軸と虚軸をもとに複素数を表すもので、直交座標に似ています。
対して極形式r(cosθ+isinθ)r(cosθ+isinθ)は原点を中心とする円と始線と動径のなす角がもとになっていて、円の半径(大きさ)rrと始線と動径のなす角(偏角)θθによって複素数を表します。

直交形式と極形式の関係は
a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)
であるので、
r=a2+b2cosθ=arsinθ=br
となるようなr,θを求めて極形式に直します。

(1)

 2の大きさはr=2です。
虚部がわかるように書くと2+0iなので
{cosθ=22=1...(i)sinθ=02=0...(ii)
となるようなθθ=0です。

したがって、2=2(cos0+isin0)となります。

複素平面上では上図のようになります。

(2)

 3iの大きさはr=3です。
実部がわかるように書くと03iなので
{cosθ=03=0...(i)sinθ=33=1...(ii)
となるようなθを求めます。
(i)を解くとθ=π2,32π、(ii)を解くとθ=32πなので(i)かつ(ii)を満たすのはθ=32πです。

したがって、3i=3(cos32π+isin32π)となります。

複素平面上では上図のようになります。

(3)

 23+2iの大きさは実部と虚部を抜き出して
r=(23)2+22=4
です。
{cosθ=234=32...(i)sinθ=24=12...(ii)
となるようなθは、(i)を解くとθ=5π6,7π6、(ii)を解くとθ=π6,56πなので、(i)かつ(ii)を満たすのはθ=56πです。

したがって、23+2i=4(cos56π+isin56π)となります。

複素平面上では上図のようになります。

(4)

 55iの大きさは
r=52+(5)2=52
です。
{cosθ=552=22...(i)sinθ=552=22...(ii)
となるようなθは、(i)を解くとθ=π4,74π、(ii)を解くとθ=54π,74πなので、(i)かつ(ii)を満たすのはθ=74πです。

したがって、55i=52(cos74π+isin74π)となります。

複素平面上では上図のようになります。

複素平面上で複素数がどこに位置するかを描いておけば偏角θの絞り込みが容易になります。
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