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2022年4月7日

複素数の極形式

「次の複素数を極形式で表わせ。ただし偏角は0\leqqθ<2\piとする。

(1)2

(2)-3i

(3)-2\sqrt{3}+2i

(4)5-5i


 複素数の直交形式a+biは互いに垂直な実軸と虚軸をもとに複素数を表すもので、直交座標に似ています。
対して極形式r(\cosθ+i\sinθ)は原点を中心とする円と始線と動径のなす角がもとになっていて、円の半径(大きさ)rと始線と動径のなす角(偏角)θによって複素数を表します。

直交形式と極形式の関係は
a+bi=r\cosθ+ir\sinθ=r(\cosθ+i\sinθ)
であるので、
\begin{align*}r&=\sqrt{a^2+b^2}\\ \\ \cosθ&=\frac{a}{r}\\ \\ \sinθ&=\frac{b}{r}\end{align*}
となるようなr,θを求めて極形式に直します。

(1)

 2の大きさはr=2です。
虚部がわかるように書くと2+0iなので
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{2}{2}=1&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{0}{2}=0&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθθ=0です。

したがって、2=2(\cos0+i\sin0)となります。

複素平面上では上図のようになります。

(2)

 -3iの大きさはr=3です。
実部がわかるように書くと0-3iなので
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{0}{3}=0&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{-3}{3}=-1&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθを求めます。
(i)を解くとθ=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi、(ii)を解くとθ=\dfrac{3}{2}\piなので(i)かつ(ii)を満たすのはθ=\dfrac{3}{2}\piです。

したがって、-3i=3\left(\cos\frac{3}{2}\pi+i\sin\frac{3}{2}\pi\right)となります。

複素平面上では上図のようになります。

(3)

 -2\sqrt{3}+2iの大きさは実部と虚部を抜き出して
r=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+2^2}=4
です。
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθは、(i)を解くとθ=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}、(ii)を解くとθ=\frac{\pi}{6},\frac{5}{6}\piなので、(i)かつ(ii)を満たすのはθ=\frac{5}{6}\piです。

したがって、-2\sqrt{3}+2i=4\left(\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi\right)となります。

複素平面上では上図のようになります。

(4)

 5-5iの大きさは
r=\sqrt{5^2+(-5)^2}=5\sqrt{2}
です。
\begin{align*}\left\{\begin{aligned}\cosθ&=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}&...(i)\\ \\ \sinθ&=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}&...(ii)\end{aligned}\right.\end{align*}
となるようなθは、(i)を解くとθ=\frac{\pi}{4},\frac{7}{4}\pi、(ii)を解くとθ=\frac{5}{4}\pi,\frac{7}{4}\piなので、(i)かつ(ii)を満たすのはθ=\frac{7}{4}\piです。

したがって、5-5i=5\sqrt{2}\left(\cos\frac{7}{4}\pi+i\sin\frac{7}{4}\pi\right)となります。

複素平面上では上図のようになります。

複素平面上で複素数がどこに位置するかを描いておけば偏角θの絞り込みが容易になります。
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