周の長さを求める公式
円に内接する正多角形の周の長さ
半径$r$の円に内接する正$n$角形の周の長さ$L_{ni}$を求める式は以下のようになります。
\[L_{ni}=2nr\sin\frac{180°}{n}\quad(n=3,4,5,\ldots)\]
本記事では半径は$r=1$とするので
\begin{equation}L_{ni}=2n\sin\frac{180°}{n}\quad(n=3,4,5,\ldots)\end{equation}
となります。円に外接する正多角形の周の長さ
半径$r$の円に外接する正$n$角形の週の長さ$L_{no}$を求める式は以下のようになります。
\[L_{no}=2nr\tan\frac{180°}{n}\quad(n=3,4,5,\ldots)\]
本記事では半径は$r=1$とするので
\begin{equation}L_{no}=2n\tan\frac{180°}{n}\quad(n=3,4,5,\ldots)\end{equation}
となります。正二十角形
円に内接する場合
半径$1$の円に内接する正二十角形の周の長さを求めるには(1)の式に$n=20$を代入して
\begin{align*}L_{20i}&=2×20\sin\frac{180°}{20}\\
&=40\sin9°\end{align*}
ここで、
\[\sin9°=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}\]
なので、
\begin{align*}L_{20i}&=40\cdot\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}\\
\\ &=5(\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}})\end{align*}
となります。
円周の長さは$2\pi$で、円に内接する正二十角形の周の長さより長いので
\begin{align*}2\pi&>5(\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}})\\
\\
\pi&>\frac{5(\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}})}{2}≒3.129&...(a)\end{align*}
円に外接する場合
半径$1$の円に外接する正二十角形の周の長さを求めるには(2)の式に$n=20$を代入して
\begin{align*}L_{20o}&=2×20\tan\frac{180°}{20}\\
&=40\tan9°\end{align*}
ここで
なので、
\[\tan9°=\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}\]
\[L_{20o}=40(\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}})\]
となります。
円周の長さは$2\pi$で、円に外接する正二十角形の周の長さより短いので
\begin{align*}2\pi&<40(\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}})\\
\\
\pi&<20(\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}})≒3.168&...(b)\end{align*}
(a)、(b)より円に内接・外接する正二十角形の周の長さから円周率の値を調べてみると$3.129<\pi<3.168$の範囲にあることがわかります。
正三十角形
円に内接する場合
半径$1$の円に内接する正三十角形の周の長さを求めるには(1)に$n=30$を代入して
\begin{align*}L_{30i}&=2×30\sin\frac{180°}{30}\\
&=60\sin6°\end{align*}
ここで
\[\sin6°=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}\]
なので、
\begin{align*}L_{30i}&=60\cdot\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}\\
\\ &=\frac{15(\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1)}{2}\end{align*}
となります。
円周の長さは$2\pi$で、円に内接する正三十角形の周の長さより長いので
\begin{align*}2\pi&>\frac{15(\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1)}{2}\\
\\
\pi&>\frac{15(\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1)}{4}≒3.136&...(c)\end{align*}
円に外接する場合
半径$1$の円に外接する正三十角形の周の長さを求めるには(2)に$n=30$を代入して
\begin{align*}L_{30o}&=2×30\tan\frac{180°}{30}\\
&=60\tan6°\end{align*}
ここで
\[\tan6°=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{2}\]
なので、
\begin{align*}L_{30o}&=60\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{2}\\
\\ &=30(\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3})\end{align*}
円周の長さは$2\pi$で、円に外接する正三十角形の周の長さより短いので
\begin{align*}2\pi&<30(\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3})\\ \\
\pi&<15(\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3})≒3.153&...(d)\end{align*}
(c)、(d)より円に内接・外接する正三十角形の周の長さから円周率の値を調べてみると$3.136<\pi<3.153$の範囲にあることがわかります。
正六十角形
円に内接する場合
半径$1$の円に内接する正六十角形の周の長さを求めるには(1)に$n=60$を代入して
\begin{align*}L_{60i}&=2×60\sin\frac{180°}{60}\\
&=120\sin3°\end{align*}
ここで
\[\sin3°=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2\sqrt{20-10\sqrt{3}+4\sqrt{5}-2\sqrt{15}}}{16}\]
なので
\begin{align*}L_{60i}&=120\cdot\frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2\sqrt{20-10\sqrt{3}+4\sqrt{5}-2\sqrt{15}}}{16}\\
\\
&=\frac{15(\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2\sqrt{20-10\sqrt{3}+4\sqrt{5}-2\sqrt{15}})}{2}\end{align*}
となります。
円周の長さは$2\pi$で、円に内接する正六十角形の周の長さより長いので
\begin{align*}2\pi&>\frac{15(\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2\sqrt{20-10\sqrt{3}+4\sqrt{5}-2\sqrt{15}})}{2}\\
\\
\pi&>\frac{15(\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2\sqrt{20-10\sqrt{3}+4\sqrt{5}-2\sqrt{15}})}{4}\\
&\quad≒3.140&...(e)\end{align*}
円に外接する場合
半径$1$の円に外接する正六十角形の周の長さを求めるには(2)に$n=60$を代入して
\begin{align*}L_{60o}&=2×60\tan\frac{180°}{60}\\
&=120\tan3°\end{align*}
ここで
\[\tan3°=\frac{\sqrt{110-60\sqrt{3}+46\sqrt{5}-28\sqrt{15}}+4-3\sqrt{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{2}\]
なので
\begin{align*}L_{60o}&=120\cdot\frac{\sqrt{110-60\sqrt{3}+96\sqrt{5}-28\sqrt{15}}+4-3\sqrt{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{2}\\
\\
&=60(\sqrt{110-60\sqrt{3}+46\sqrt{5}-28\sqrt{15}}+4-3\sqrt{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{15})\end{align*}
となります。
円周の長さは$2\pi$で、円に外接する正六十角形の周の長さより短いので
\begin{align*}2\pi&<60(\sqrt{110-60\sqrt{3}+46\sqrt{5}-28\sqrt{15}}+4-3\sqrt{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{15})\\
\\
\pi&<30(\sqrt{110-60\sqrt{3}+46\sqrt{5}-28\sqrt{15}}+4-3\sqrt{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{15})\\
≒3.144&...(f)\end{align*}
(e)、(f)より円に内接・外接する正六十角形の周の長さから円周率の値を調べてみると$3.140<\pi<3.144$の範囲にあることがわかります。
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