円に内接・外接する正多角形の周の長さを求める公式を作ってみよう ~ 数学について考えてみる

　円に内接・外接する正多角形の周の長さを、円の半径と正多角形の頂点の数から求めることができる式を求めてみようと思います。

そのために円に内接・外接する正八角形の周の長さを求める過程を見て、それから式を立てていきます。

円に内接する正多角形

　例として半径

r

$r$ の円に内接する正八角形の場合を見ます。

図1　円に内接する正八角形

正八角形に外接円の中心を通る対角線を引くと、頂点の数と同じ8つの合同な二等辺三角形に分けることができます。
このとき、引いた対角線はすべて外接円の直径であり、二等辺三角形の等辺は外接円の半径でもあるのでその長さは $r$ です。また、頂角の大きさは $360°$ の $\dfrac{1}{8}$ の $45°$ となります。

　これらから正八角形の周の一部である二等辺三角形の底辺の長さ

$l_{8i}$ を余弦定理をもちいて求めます。

$\begin{align*}{l_{8i}}^2&=r^2+r^2-2× r× r\cos45°\\[0.5em]&=2r^2-2r^2\cos45°\\[0.5em]&=2r^2(1-\cos45°)\\[0.5em]&=4r^2\left(\frac{1-\cos45°}{2}\right)\\[0.5em]&=4r^2\sin^2\frac{45°}{2}\\[1em]l_{8i}&=2\left|r\sin\frac{45°}{2}\right|&(\because l_{8i}>0)\\[0.5em]&=2|r|\left|\sin\frac{45°}{2}\right|\\[0.5em]&=2r\sin\frac{45°}{2}&(\because r>0,\sin\frac{45°}{2}>0)\end{align*}$

途中、半角の公式

$\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$

をもちいた変形をしています。

円に内接する正八角形の周の長さ

$L_{8i}$ は

$l_{8i}$ の

$8$ 倍なので

$\begin{align*}L_{8i}&=8l_{8i}\\[0.5em]&=8\times2r\sin\frac{45°}{2}\\[0.5em]&=16r\sin\frac{45°}{2}\end{align*}$

となります。ここで抑えておきたいポイントは、

$45°$ というのは正八角形の場合で正

$n$ 角形の場合は

$\dfrac{360°}{n}$ であるということと、正

$n$ 角形の周の長さ

$L_{ni}$ を求めるために

$l_{ni}$ に掛ける数は

$n$ 倍になるということです。

これらのことから、円に内接する正

$n$ 角形の周の長さ

$L_{ni}$ は

$\begin{equation}\begin{aligned}\mathbf{L_{ni}}&\mathbf{=2nr\sin\frac{\frac{360°}{n}}{2}}\\[0.5em]&\mathbf{=2nr\sin\frac{180°}{n}}&(n=3,4,5,\ldots)\end{aligned}\end{equation}$

となります。

　半径

$1$ の円に内接する正三角形、正方形、正六角形の周の長さは以下のようになります。

$\begin{align*}r=1,n=&3(正三角形)\\ L_{3i}&=2\times3\sin\frac{180°}{3}\\[0.5em]&=6\sin60°\\[0.5em]&=3\sqrt{3}\\[1em]r=1,n=&4(正方形)\\ L_{4i}&=2\times4\sin\frac{180°}{4}\\[0.5em]&=8\sin45°\\[0.5em]&=4\sqrt{2}\\[1em]r=1,n=&6(正六角形)\\L_{6i}&=2\times6\sin\frac{180°}{6}\\[0.5em]&=12\sin30°\\[0.5em]&=6\end{align*}$

それぞれ一から計算してみると同じ結果を得られます。

円に外接する正多角形

　例として、半径

$r$ の円に外接する正八角形の場合を見ます。

図2　円に外接する正八角形

円に内接する正八角形のときと同様、正八角形に内接円の中心を通る対角線を引くと、合同な8つの二等辺三角形ができます。

このとき、二等辺三角形の高さは半径と等しく

$r$ となります。また、底辺は正八角形の周の一部でその長さを

$l_{8o}$ とおきます。

二等辺三角形の高さを表す線分は頂角から底辺へおろした垂線で、垂線によって二等辺三角形は2つの合同な直角三角形になります。この直角三角形の円の中心を頂点とする角の大きさは

$45°$ の半分の

$22.5°$ です。

この直角三角形において、

$\tan22.5°$ は

$\tan22.5°=\cfrac{\cfrac{l_{8o}}{2}}{r}=\frac{l_{8o}}{2r}$

と表されます。
したがって、底辺の長さ

$l_{8o}$ は、

$l_{8o}=2r\tan22.5°$

となります。

円に外接する正八角形の周の長さ

$L_{8o}$ は、

$l_{8o}$ の8倍になるので

$\begin{align*}L_{8o}&=8l_{8o}\\[0.5em]&=8\times2r\tan22.5°\\[0.5em]&=16r\tan22.5°\end{align*}$

となります。

円に内接する正多角形のときと同様に、正

$n$ 角形のとき、二等辺三角形の頂角の大きさは

$\frac{360°}{n}$ 、周の長さ

$L_{no}$ を求めるのに底辺の長さ

$l_{no}$ にかける数は

$n$ になるので

$\begin{equation}\mathbf{L_{no}=2nr\tan\frac{180°}{n}}\quad(n=3,4,5,\ldots)\end{equation}$

となります。

また、

$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

という半角の公式をもちいると

$\begin{equation}\mathbf{L_{no}=2nr\frac{\sin\frac{360°}{n}}{1+\cos\frac{360°}{n}}}\quad(n=3,4,5,\ldots)\end{equation}$

とも表すことができます。

　半径

$1$ の円に外接する正三角形、正方形、正六角形の周の長さを求めてみると以下のようになります。

$\begin{align*}r=1,n=&3(正三角形)\\ L_{3o}&=2\times3\times\frac{\sin\frac{360°}{3}}{1+\cos\frac{360°}{3}}\\[0.5em]&=6\times\frac{\sin120°}{1+\cos120°}\\[0.5em]&=6\times\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}\\[0.5em]&=6\sqrt{3}\\[1em]r=1,n=&4(正方形)\\ L_{4o}&=2\times4\times\frac{\sin\frac{360°}{4}}{1+\cos\frac{360°}{4}}\\[0.5em]&=8\times\frac{\sin90°}{1+\cos90°}\\[0.5em]&=8\times\frac{1}{1}\\[0.5em]&=8\\[1em]r=1,n=&6(正六角形)\\ L_{6o}&=2\times6\times\frac{\sin\frac{360°}{6}}{1+\cos\frac{360°}{6}}\\[0.5em]&=12\times\frac{\sin60°}{1+\cos60°}\\[0.5em]&=12\times\dfrac{d\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\dfrac{1}{2}}\\[0.5em]&=4\sqrt{3}\end{align*}$

こちらもそれぞれ一から計算してみると同じ結果を得られます。

(2024/3)内容を修正しました。