また、$AB≠AC$である$△ABC$の$∠A$の外角の二等分線と辺$BC$の延長線との交点$Q$は、辺$BC$を$a:b$に外分する。」
という性質があります。
内角の二等分線
$AS$は$∠A$の二等分線なので$∠BAS=∠CAT$です。
$BS,CT$は$AS$に対する垂線なので、
\begin{equation}∠ASB=∠ATC=90°\end{equation}
2組の角がそれぞれ等しいため$△ABS$と$△ACT$は相似で、その比は$a:b$であることがわかります。
(1)より、$∠BSP=∠CTP=90°$です。
対頂角なので、$∠BPS=∠CPT$です。
2組の角がそれぞれ等しいため$△BSP$と$△CTP$は相似で、(2)より相似比は$a:b$であることがわかります。
したがって、
\begin{equation}BP:CP=a:b\end{equation}
(3)より、$∠A$の二等分線と辺$BC$との交点$P$は、辺$BC$を$a:b$に内分することがわかります。
外角の二等分線
$BS,CT$は$QS$に対する垂線であるので、
\begin{equation}∠BSA=∠CTA=90°\end{equation}
ここで、$AQ$は$∠A$の外角の二等分線なので、
$BA$の延長線上に点$U$をおくと
\begin{equation}∠CAQ=∠UAQ\end{equation}
対頂角なので、
\begin{equation}∠BAS=∠UAQ\end{equation}
(5), (6)より、$∠BAS=∠CAT$です。
2組の角がそれぞれ等しいため$△ABS$と$△ACT$は相似で、その比は$a:b$であることがわかります。
(4)より、$∠QSB=∠QTC=90°$です。
共通の角なので$∠BQS=∠CQT$です。
2組の角がそれぞれ等しいため$△QBS$と$△QCT$は相似で、(7)より相似比は$a:b$であることがわかります。
したがって、
\begin{equation}BQ:CQ=a:b\end{equation}
(8)より、$∠A$の外角の二等分線と辺$BC$の延長線との交点$Q$は、辺$BC$を$a:b$に外分することがわかります。
$AQ//BC$より、$∠A$の外角と辺$BC$の延長線は交わらず、$BC$を外分する点は存在しません。
以上より、角の二等分線と比の関係について証明することができました。
関連:外角の定理