三角形の角の二等分線と線分の比 本当に成立する？

「$△ABC$の$AB=a,AC=b$として、$∠A$の二等分線と辺$BC$との交点$P$は、辺$BC$を$a:b$に内分する。
また、$AB≠AC$である$△ABC$の$∠A$の外角の二等分線と辺$BC$の延長線との交点$Q$は、辺$BC$を$a:b$に外分する。」
という性質があります。

本当にこれが成立するのかを証明してみます。

内角の二等分線

　$△ABC$の$∠A$の二等分線と辺$BC$との交点を$P$とし、点$B,C$から半直線$AP$へ垂線を引き、それぞれの交点を$S,T$とします。また、$AB=a,AC=b$とします。

$△ABS$と$△ACT$について考えます。
$AS$は$∠A$の二等分線なので$∠BAS=∠CAT$です。
$BS,CT$は$AS$に対する垂線なので、

\begin{equation}∠ASB=∠ATC=90°\end{equation}

2組の角がそれぞれ等しいため$△ABS$と$△ACT$は相似で、その比は$a:b$であることがわかります。

したがって、

\begin{equation}BS:CT=a:b\end{equation}

であることがわかります。

次に$△BSP$と$△CTP$について考えます。
$(1)$より、$∠BSP=∠CTP=90°$です。
対頂角なので、$∠BPS=∠CPT$です。
2組の角がそれぞれ等しいため$△BSP$と$△CTP$は相似で、$(2)$より相似比は$a:b$であることがわかります。

したがって、

\begin{equation}BP:CP=a:b\end{equation}

$(3)$より、$∠A$の二等分線と辺$BC$との交点$P$は、辺$BC$を$a:b$に内分することがわかります。

外角の二等分線

　$△ABC$の$∠A$の外角の二等分線と辺$BC$の延長線との交点を$Q$とし、半直線$QA$に対し、点$B,C$から垂線を引きそれぞれの交点を$S,T$とします。また、$AB=a,AC=b$とします。

$△ABS$と$△ACT$について考えます。
$BS,CT$は$QS$に対する垂線であるので、

\begin{equation}∠BSA=∠CTA=90°\end{equation}

ここで、$AQ$は$∠A$の外角の二等分線なので、
$BA$の延長線上に点$U$をおくと

\begin{equation}∠CAQ=∠UAQ\end{equation}

対頂角なので、

\begin{equation}∠BAS=∠UAQ\end{equation}

$(5), (6)$より、$∠BAS=∠CAT$です。
2組の角がそれぞれ等しいため$△ABS$と$△ACT$は相似で、その比は$a:b$であることがわかります。

したがって、

\begin{equation}BS:CT=a:b\end{equation}

であることがわかります。

　次に$△QBS$と$△QCT$について考えます。
$(4)$より、$∠QSB=∠QTC=90°$です。
共通の角なので$∠BQS=∠CQT$です。
2組の角がそれぞれ等しいため$△QBS$と$△QCT$は相似で、$(7)$より相似比は$a:b$であることがわかります。

したがって、

\begin{equation}BQ:CQ=a:b\end{equation}

$(8)$より、$∠A$の外角の二等分線と辺$BC$の延長線との交点$Q$は、辺$BC$を$a:b$に外分することがわかります。

　また、$AB≠AC$という条件がつく理由は以下のようになります。

$AB=AC$となる二等辺三角形$ABC$の$∠A$の外角の二等分線上に$A$以外の点$Q$をおきます。

二等辺三角形なので$∠ABC=∠ACB$です。

$∠A$の外角の大きさは$∠ABC+∠ACB=2∠ACB$です。

$∠QAC$は$∠A$の外角の半角であることと外角の定理より

\[∠QAC=\frac{1}{2}× 2∠ACB=∠ACB\]

$∠QAC$と$∠ACB$は錯角なので、$AQ//BC$となります。

$AQ//BC$より、$∠A$の外角と辺$BC$の延長線は交わらず、$BC$を外分する点は存在しません。

以上より、角の二等分線と比の関係について証明することができました。

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