三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質

　三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質とは、

$\text{AB}≠\text{AC}$である$△\text{ABC}$の内角$∠\text{A}$の二等分線と辺$\text{BC}$との交点を$\text{D}$、$∠\text{A}$の外角（上図においては辺$\text{AB}$の頂点$\text{A}$側の延長上に点$\text{P}$をとった場合の$∠\text{CAP}$）の二等分線と辺$\text{BC}$の延長との交点を$\text{E}$とすると

\[\large \text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}=\text{BE}:\text{CE}\]

が成り立つというものです。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

三角形の内角の二等分線と線分の比

　$△\text{ABC}$の頂点$\text{B}, \text{C}$から内角$∠\text{A}$の二等分線$\text{AD}$へおろした垂線の足をそれぞれ$\text{Q}, \text{R}$とします。

$△\text{ABQ}$と$△\text{ACR}$に着目すると

• 仮定より$∠\text{BAQ}=∠\text{CAR}$
• $\text{AD}\perp \text{BQ}, \text{AD}\perp \text{CR}$より$∠\text{AQB}=∠\text{ARC}=90°$

2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
すると、相似比より

\begin{equation}\text{AB}:\text{AC}=\text{BQ}:\text{CR}\end{equation}

です。

関連：三角形の相似・相似条件

次に、$△\text{BDQ}$と$△\text{CDR}$に着目すると

• $\text{AD}\perp \text{BQ}, \text{AD}\perp \text{CR}$より$∠\text{BQD}=∠\text{CRD}=90°$
• 対頂角より$∠\text{BDQ}=∠\text{CDR}$

2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
すると、相似比より$\text{BD}:\text{CD}=\text{BQ}:\text{CR}$であり、さらに$(1)$より

\begin{equation}\large \text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}\end{equation}

が成り立つことが導けます。

三角形の外角の二等分線と線分の比

　$\text{AB}≠\text{AC}$である$△\text{ABC}$の辺$\text{AB}$の頂点$\text{A}$側の延長上に点$\text{P}$をとったときの外角$∠\text{CAP}$の二等分線が辺$\text{BC}$の延長と交わった場合を考えます。

頂点$\text{B}, \text{C}$から外角$∠\text{CAP}$の二等分線$\text{AE}$へおろした垂線の足をそれぞれ$\text{S}, \text{T}$とします。
$△\text{ABS}$と$△\text{ACT}$に着目すると

• 以下の理由により$∠\text{BAS}=∠\text{CAT}$
  • 仮定より$∠\text{CAT}=∠\text{PAT}$
  • 対頂角より$∠\text{PAT}=∠\text{BAS}$
• $\text{AE}\perp \text{BS}, \text{AE}\perp \text{CT}$より$∠\text{ASB}=∠\text{ATC}=90°$

2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
すると、相似比より

\begin{equation}\text{AB}:\text{AC}=\text{BS}:\text{CT}\end{equation}

です。

次に、$△\text{BES}$と$△\text{CET}$に着目すると

• $\text{AE}\perp \text{BS}, \text{AE}\perp \text{CT}$より$∠\text{BSE}=∠\text{CTE}=90°$
• 共通の角なので$∠\text{BES}=∠\text{CET}$

2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
すると、相似比より$\text{BE}:\text{CE}=\text{BS}:\text{CT}$であり、さらに$(3)$より

\begin{equation}\large \text{AB}:\text{AC}=\text{BE}:\text{CE}\end{equation}

が成り立つことが導けます。

これは、辺$\text{AC}$の頂点$\text{A}$側の延長上に点$\text{P}$をとったときの外角$∠\text{BAP}$の二等分線が辺$\text{BC}$の延長と交わった場合でも同様に示すことができます。

$(2), (4)$より、

\[\large \text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}=\text{BE}:\text{CE}\]

となり、三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質が成り立つことがわかります。

　三角形の外角の二等分線と線分の比の性質に限り、$\text{AB}≠\text{AC}$という二等辺三角形の頂角の外角でない条件がつく理由は、外角の二等分線が底辺の延長と交わらないためです。

　$\text{AB}=\text{AC}$である二等辺三角形$\text{ABC}$の辺$\text{AB}$の頂点$\text{A}$側の延長上に点$\text{P}$をとり、外角$∠\text{CAP}$の二等分線上の頂点$\text{A}$に関して頂点$\text{C}$と同じ側に点$\text{Q}$をとります。

外角の定理より

\begin{equation}\angle \text{CAP}=\angle \text{ABC}+\angle \text{ACB}\end{equation}

関連：外角の定理

また、

\begin{equation}\angle \text{CAP}=\angle \text{CAQ}+\angle \text{PAQ}\end{equation}

$(5), (6)$と$∠\text{ABC}=∠\text{ACB}, ∠\text{CAQ}=∠\text{PAQ}$より

\begin{align*}\angle \text{ABC}+\angle \text{ACB}&=\angle \text{CAQ}+\angle \text{PAQ}\\[0.5em]2\angle \text{ACB}&=2\angle \text{CAQ}\\[0.5em]\angle \text{ACB}&=\angle \text{CAQ}\end{align*}

となり、$∠\text{ACB}$と$∠\text{CAQ}$は錯角の関係であり等しいことから$\text{BC}//\text{AQ}$であることがわかります。

したがって、$\text{AB}=\text{AC}$のとき、底辺$\text{BC}$と$∠\text{A}$の外角の二等分線は交わりません。

(2026/1)内容を修正しました。

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