36°は180°の5分の1なので、「θの5倍角までの\sin,\cos,\tanを求めてみよう」で求めた5倍角の式を利用して、\sin36°\ (＝\sin\dfrac{\pi}{5})がどんな数になるのかを計算してみようと思います。
\sin36°はどんな数？
5倍角の式は以下のようになります。
\sin5θ=16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ
この式にθ=36°を代入すると5θ=180°となります。
\begin{equation}\sin180°=16\sin^5 36°-20\sin^3
36°+5\sin36°\end{equation}
\sin180°=0なので(1)の左辺は0となります。\sin36°=xとおくと
\begin{align*}0&=16x^5-20x^3+5x\tag2\\[0.5em]0&=x(16x^4-20x^2+5)\\[0.5em]x(16x^4-20x^2+5)&=0\end{align*}
(2)を満たす条件はx=0または16x^4-20x^2+5=0となるので、解の1つはx=0です。
残る解を求めるため
16x^4-20x^2+5=0
を解きます。
16x^4-20x^2+5=0
を解きます。
x^2=yとおくと、
16y^2-20y+5=0
yの2次方程式となるので、これを解いて
y=\frac{10\pm\sqrt{10^2-16×5}}{16}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}
したがって、
\begin{align*}x^2&=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]x^2&=\frac{5-\sqrt{5}}{8},\frac{5+\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]x=\pm\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}},\pm\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\end{align*}
以上より(2)の解は
x=0,\pm\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}},\pm\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}
解が5つ出てきてしまいましたが、\sin36°の値として適するものは1つだけのはずです。
なので、どれが適する値なのかを絞り込みます。
\sin36°>0なので、0と負の値の解は除外されます。また、
\begin{align*}\sin30°<&\sin36°<\sin45°\\[0.5em]\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}<&\sin36°<\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[0.5em]\sqrt{0.25}<&\sin36°<\sqrt{0.5}\end{align*}
なので、これを満たすものを探します。
\begin{align*}\sqrt{5}=2.23として\\
\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}&=\sqrt{\frac{2.73}{8}}≒\sqrt{0.341}\\[0.5em]\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}&=\sqrt{\frac{7.23}{8}}≒\sqrt{0.904}\end{align*}
したがって、\sin36°として適する値は
\underline{\sin36°=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}}
となります。
これは分母を有理化して
\sin36°=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
とも書くことができます。
なぜ(2)の解が5個も出てきてしまったのかというと、(2)をつくれる等式が(1)だけではないからです。
\sin180°=0であると上で書きましたが、\sinの値が0になるのは180°の整数倍、すなわち180°×n (n:整数)のときです。
したがって、5θ=180°×n、すなわちθ=36°×nを5倍角の公式に代入した
つまり、x=\sin(36°×n)という形で(2)の解を考えると整数nの個数分だけ解が存在するということです。
\sin180°=0であると上で書きましたが、\sinの値が0になるのは180°の整数倍、すなわち180°×n (n:整数)のときです。
したがって、5θ=180°×n、すなわちθ=36°×nを5倍角の公式に代入した
\sin(180°×n)=16\sin^5(36°×n)-20\sin^3(36°×n)+5\sin(36°×n)
で表せる等式ならば(2)をつくれます。(1)はこの等式にn=1を代入したものです。つまり、x=\sin(36°×n)という形で(2)の解を考えると整数nの個数分だけ解が存在するということです。
整数nは無数にあるので36°×nも無数にありますが、\sin(36°×n)で現れる値は5個だけです。
値としては(2)を満たすものは5個なので、解が5個出てきたということになります。
\cos36°と\tan36°
\cos36°
\cos36°を求めるために5倍角の式
そこで、より簡単な方法として三角関数の相互関係
\cos5θ=16\cos^5θ-20\cos^3θ+5\cosθ
を使う・・・とはいきません。\cos180°=1なので、\sin36°と同様に因数分解と2次方程式への変換で単純化して解けないためです。
そこで、より簡単な方法として三角関数の相互関係
\sin^2θ+\cos^2θ=1
を利用します。
\begin{align*}\sin^2 36°&+\cos^2 36°=1\\[0.5em]\cos^2
36°&=1-\sin^2
36°\\[0.5em]&=1-\left(\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\right)^2\\[0.5em]&=1-\frac{5-\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]&=\frac{6+2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]&=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{16}\\[1em]\cos36°&=\pm\frac{1+\sqrt{5}}{4}\end{align*}
\cos36°>0なので、
\underline{\cos36°=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}
となります。
\tan36°
\tan36°は、三角関数の相互関係より
\begin{align*}\tanθ&=\frac{\sinθ}{\cosθ}\\[0.5em]\tan36°&=\frac{\sin36°}{\cos36°}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}×\frac{4}{1+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}}{(1+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{16(5-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\end{align*}
となります。
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin36°&=0.58779\\[1em]\cos36°&=0.80902\\[1em]\tan36°&=0.72654\end{align*}
(2023/11)加筆修正しました。
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