sin36°がどんな数になるかを求めてみよう ~ 数学について考えてみる

　 $36°$ は $180°$ の5分の1なので、「 $θ$ の5倍角までの $\sin,\cos,\tan$ を求めてみよう」で求めた5倍角の式を利用して、 $\sin36°\ (＝\sin\dfrac{\pi}{5})$ がどんな数になるのかを計算してみようと思います。

$\sin36°$ はどんな数？

　5倍角の式は以下のようになります。

sin 5 θ = 16 {sin}^{5} θ - 20 {sin}^{3} θ + 5 sin θ

$\sin5θ=16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ$

この式に

θ = 36 °

$θ=36°$ を代入すると

5 θ = 180 °

$5θ=180°$ となります。

\begin{matrix} sin 180 ° = 16 {sin}^{5} 36 ° - 20 {sin}^{3} 36 ° + 5 sin 36 ° \\ (1) \end{matrix}

$\begin{equation}\sin180°=16\sin^5 36°-20\sin^3 36°+5\sin36°\end{equation}$

sin 180 ° = 0

$\sin180°=0$ なので

(1)

$(1)$ の左辺は

0

$0$ となります。

sin 36 ° = x

$\sin36°=x$ とおくと

\begin{matrix} 0 & = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x 0 & = x (16 x^{4} - 20 x^{2} + 5) x (16 x^{4} - 20 x^{2} + 5) & = 0 \\ (2) \end{matrix}

$\begin{align*}0&=16x^5-20x^3+5x\tag2\\[0.5em]0&=x(16x^4-20x^2+5)\\[0.5em]x(16x^4-20x^2+5)&=0\end{align*}$

(2)

$(2)$ を満たす条件は

x = 0

$x=0$ または

16 x^{4} - 20 x^{2} + 5 = 0

$16x^4-20x^2+5=0$ となるので、解の1つは

x = 0

$x=0$ です。

残る解を求めるため

16 x^{4} - 20 x^{2} + 5 = 0

$16x^4-20x^2+5=0$
を解きます。

x^{2} = y

$x^2=y$ とおくと、

16 y^{2} - 20 y + 5 = 0

$16y^2-20y+5=0$

y

$y$ の2次方程式となるので、これを解いて

y = \frac{10 \pm \sqrt{10^{2} - 16 \times 5}}{16} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}

$y=\frac{10\pm\sqrt{10^2-16×5}}{16}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}$

したがって、

\begin{matrix} x^{2} & = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8} x^{2} & = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}, \frac{5 + \sqrt{5}}{8} x = \pm \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}}, \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} \end{matrix}

$\begin{align*}x^2&=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]x^2&=\frac{5-\sqrt{5}}{8},\frac{5+\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]x=\pm\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}},\pm\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\end{align*}$

以上より

(2)

$(2)$ の解は

x = 0, \pm \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}}, \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}}

$x=0,\pm\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}},\pm\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$

解が5つ出てきてしまいましたが、

sin 36 °

$\sin36°$ の値として適するものは1つだけのはずです。

なので、どれが適する値なのかを絞り込みます。

sin 36 ° > 0

$\sin36°>0$ なので、

0

$0$ と負の値の解は除外されます。また、

\begin{matrix} sin 30 ° < & sin 36 ° < sin 45 ° \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4}} < & sin 36 ° < \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{0.25} < & sin 36 ° < \sqrt{0.5} \end{matrix}

$\begin{align*}\sin30°<&\sin36°<\sin45°\\[0.5em]\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}<&\sin36°<\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[0.5em]\sqrt{0.25}<&\sin36°<\sqrt{0.5}\end{align*}$

なので、これを満たすものを探します。

$\begin{align*}\sqrt{5}=2.23として\\ \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}&=\sqrt{\frac{2.73}{8}}≒\sqrt{0.341}\\[0.5em]\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}&=\sqrt{\frac{7.23}{8}}≒\sqrt{0.904}\end{align*}$

したがって、

$\sin36°$ として適する値は

$\underline{\sin36°=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}}$

となります。

これは分母を有理化して

$\sin36°=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

とも書くことができます。

　なぜ

$(2)$ の解が5個も出てきてしまったのかというと、

$(2)$ をつくれる等式が

$(1)$ だけではないからです。

$\sin180°=0$ であると上で書きましたが、

$\sin$ の値が

$0$ になるのは

$180°$ の整数倍、すなわち

$180°×n$

$(n:整数)$ のときです。
したがって、

$5θ=180°×n$ 、すなわち

$θ=36°×n$ を5倍角の公式に代入した

$\sin(180°×n)=16\sin^5(36°×n)-20\sin^3(36°×n)+5\sin(36°×n)$

で表せる等式ならば

$(2)$ をつくれます。

$(1)$ はこの等式に

$n=1$ を代入したものです。
つまり、

$x=\sin(36°×n)$ という形で

$(2)$ の解を考えると整数

$n$ の個数分だけ解が存在するということです。

整数

$n$ は無数にあるので

$36°×n$ も無数にありますが、

$\sin(36°×n)$ で現れる値は5個だけです。

なぜなら、

$36°×n$ は単位円を10等分する各半径と始線のなす角であり、

$\sin(36°×n)$ の値に相当する各半径の単位円周上の点のy座標には5個の値しかないためです。

値としては

$(2)$ を満たすものは5個なので、解が5個出てきたということになります。

$\cos36°$ と $\tan36°$

$\cos36°$

$\cos36°$ を求めるために5倍角の式

$\cos5θ=16\cos^5θ-20\cos^3θ+5\cosθ$

を使う・・・とはいきません。

$\cos180°=1$ なので、

$\sin36°$ と同様に因数分解と2次方程式への変換で単純化して解けないためです。
そこで、より簡単な方法として三角関数の相互関係

$\sin^2θ+\cos^2θ=1$

を利用します。

$\begin{align*}\sin^2 36°&+\cos^2 36°=1\\[0.5em]\cos^2 36°&=1-\sin^2 36°\\[0.5em]&=1-\left(\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\right)^2\\[0.5em]&=1-\frac{5-\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]&=\frac{6+2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]&=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{16}\\[1em]\cos36°&=\pm\frac{1+\sqrt{5}}{4}\end{align*}$

$\cos36°>0$ なので、

$\underline{\cos36°=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}$

となります。

$\tan36°$

$\tan36°$ は、三角関数の相互関係より

$\begin{align*}\tanθ&=\frac{\sinθ}{\cosθ}\\[0.5em]\tan36°&=\frac{\sin36°}{\cos36°}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}×\frac{4}{1+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}}{(1+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{16(5-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\end{align*}$

となります。

　それぞれの近似値は以下のようになります。