このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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平行四辺形を対角線で2つに分割すると面積は二等分されるので、平行四辺形$ABCD$と$△ACD$の面積比は$2:1$になり、以下のように表すことができます。
\begin{equation}△ACD=\frac{1}{2}□ABCD\end{equation}
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$DA,DF$を底辺とすれば、$DA:DF$が底辺の長さの比となります。ここから$DA$に対する$DE$が$DA$の何倍かを求めると
\begin{align*}DA:DF&=3:2\\[0.5em]
DF&=\frac{2}{3}DA\tag2\end{align*}
となります。
$CE:ED$から$CD:ED$を求めます。
\begin{align*}CE:ED&=1:3\\[0.5em] CD:ED&=(CE+ED):ED\\[0.5em]
&=(1+3):3=4:3\end{align*}
$CD:ED$は高さの比となります。ここから$ED$が$CD$の何倍かを求めると
\[ED=\frac{3}{4}CD\tag3\]
となります。すなわち、$△DEF$の高さも$△ACD$の$\dfrac{3}{4}$倍となります。
$(2),(3)$より、
\begin{align*}△FED&=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}△ACD\\[0.5em]
&=\frac{1}{2}△ACD\end{align*}
$(1)$より、
\begin{align*}△FED&=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}□ABCD\\[0.5em]
&=\frac{1}{4}□ABCD\end{align*}
となります。
よって、平行四辺形$ABCD$と$△DEF$の面積の比は
\begin{align*}□ABCD:△DEF&=□ABCD:\frac{1}{4}□ABCD\\[0.5em]&=1:\frac{1}{4}\\[0.5em]&=4:1\end{align*}
と求めることができます。
応用編
この解き方は以下のような問題にも使うことができます。
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平行四辺形の面積が$1$である時、四角形$AEFG$の面積を求めよ。」
$△ABE,△CEF,△DFG$の面積を平行四辺形$ABCD$の面積から引くことで四角形$AEFG$の面積を求めることができます。
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\begin{align*}△ABE&=\frac{2}{3}△ABC\\[0.5em]&=\frac{2}{3}\times
\frac{1}{2}□ABCD\\[0.5em] &=\frac{1}{3}□ABCD\\[0.5em]
△ABE&=\frac{1}{3}\tag4\end{align*}
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\begin{align*}△CEF&=\frac{1}{3}\times
\frac{1}{2}△BCD\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times
\frac{1}{2}□ABCD\\[0.5em] &=\frac{1}{12}□ABCD\\[0.5em]
△CEF&=\frac{1}{12}\tag5\end{align*}
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\begin{align*}△DFG&=\frac{3}{4}\times
\frac{1}{2}\times△ACD\\[0.5em]&=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times
\frac{1}{2}□ABCD\\[0.5em] &=\frac{3}{16}□ABCD\\[0.5em]
△DFG&=\frac{3}{16}\end{align*}
$(4),(5),(6)$より、四角形$AEFG$の面積は、
\begin{align*}□AEFG&=□ABCD-△ABE-△CEF-△DFG\\[0.5em]
&=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{12}-\frac{3}{16}\\[0.5em]
&=1-\frac{29}{48}\\[0.5em] &=\frac{19}{48}\end{align*}
となります。
(2023/8)加筆修正・画像差し替え＆追加しました。
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