しかし作図する場合、三角形の内角の二等分線の交点によって求められます。
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$△AEI$と$△AFI$に着目すると
$∠AEI=∠AFI=90°$なので2つの三角形は直角三角形です。
$AI$は共通の辺なので$AI=AI$です。
また、$AI$は$∠A$の二等分線なので$∠IAE=∠IAF$です。
したがって、斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しいので$△AEI$と$△AFI$は合同であり、$IE=IF$であることがわかります。
また、$BI$は$∠B$の二等分線なので$∠IBD=∠IBF$です。
したがって、斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しいので$△BDI$と$△BFI$は合同であり、$ID=IF$であることがわかります。
ここで$△CDI$と$△CEI$に着目すると
$∠BDI=∠AEI=90°$より$∠CDI=∠CEI=90°$なので2つの三角形は直角三角形です。
先ほどの結論より$ID=IE$です。
共通の辺$CI$なので$CI=CI$です。
したがって、斜辺とそれ以外の1組の辺がそれぞれ等しいので$△CDI$と$△CEI$は合同であり、$∠ICD=∠ICE$、すなわち$CI$は$∠C$の二等分線であることがわかります。
以上より、三角形の3つの内角の二等分線はただ1点で交わることがわかります。
また、$ID=IE=IF$よりこの点$I$は各辺までの距離が等しいので、$I$を中心として三角形に内接する円を描くことができます。三角形の内接円の中心点とは、つまり内心のことです。
よって、三角形の3つの内角の二等分線の交点が内心になることを示すことができました。
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三角比より$\tan\alpha=\dfrac{r}{BD},\tan\beta=\dfrac{r}{CD}$なので、$BD=\dfrac{r}{\tan\alpha},CD=\dfrac{r}{\tan\beta}$となります。
したがって、点$D$は$BC$を
\begin{align*}BD:CD&=\frac{r}{\tan\alpha}:\frac{r}{\tan\beta}\\ \\ &=\frac{1}{\tan\alpha}:\frac{1}{\tan\beta}\\ \\ &=\tan\beta:\tan\alpha\end{align*}
という比で分割します。また、$\alpha,\beta$の角度の条件より点$D$は必ず内分点となります。
内心から3辺までの距離が等しいという性質を利用するとなると、距離は等しいというがどれくらいの長さなのか？そして辺のどの位置からの距離なのか？という問題が出てきます。
内心から辺へおろした垂線の足から内心の位置を特定しようとすると、三角形の内角の大きさを調べ、内心からの垂線の足がどこに位置することになるのかを計算してようやく作図することができます。
しかし、上で確かめた角の二等分線は必ず内心を通ることを利用した場合、測定や計算の必要もなく最低でも2本の内角の二等分線を引くだけで容易に内心の位置を知ることができます。
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