三角形の内接円の中心が2つの内角の二等分線の交点で求められるのはナゼ？ ~ 数学について考えてみる

2021年8月4日

三角形の内接円の中心が2つの内角の二等分線の交点で求められるのはナゼ？

PLUMBAGO

　三角形の内接円の中心は、三角形の2つの内角の二等分線の交点より求まります。

なぜ、2つの内角の二等分線を引くことで内接円の中心が求まるのでしょうか？

　三角形の内接円とは、三角形の3つの辺に接する三角形内部の円のことです。

ところで、角の二等分線には、

劣角の内側でその角をつくる2本の半直線に接する円の中心は、劣角の二等分線上にある。

という性質があります。

すなわち、任意の三角形$△\text{ABC}$において、辺$\text{AB}$と$\text{BC}$に接する$△\text{ABC}$内部の円の中心は内角$∠\text{B}$の二等分線上にあるということです。
同様に、辺$\text{BC}$と$\text{CA}$に接する$△\text{ABC}$内部の円の中心は内角$∠\text{C}$の二等分線上に、
辺$\text{CA}$と$\text{AB}$に接する$△\text{ABC}$内部の円の中心は内角$∠\text{A}$の二等分線上にあります。

どの2つの内角を選んでも、それらに3つの辺がすべて含まれるので、2つの内角の二等分線の交点は3つの辺に接する$△\text{ABC}$内部の円の中心となります。

例えば、$△\text{ABC}$の内角$∠\text{A}, ∠\text{B}$を選び、それぞれの二等分線の交点を$\text{I}$としたとき、点$\text{I}$は辺$\text{CA}$と$\text{AB}$に接する$△\text{ABC}$内部の円の中心であり、かつ辺$\text{AB}$と$\text{BC}$に接する円の中心でもあるので、3つの辺に接する$△\text{ABC}$内部の円の中心であることがわかります。

この円は、内接円の定義を満たしています。

したがって、三角形の2つの内角の二等分線の交点は内接円の中心であることがわかります。